Высшей школе экономике есть факультет математики и факультет прикладной математики и информатики. Правда, оттуда многие преподаватели побежали за рубеж, и часть предметов теперь, насколько я осведомлён, ведётся через экран. Качество образования это, естественно, снижает. Стоит упомянуть также Независимый Московский Университет. Это дополнительное вечернее образование: например, где-то учишься и понимаешь, что нужна и математика, и доучиваешься там.
В Питере есть Чебышовка — Исследовательская лаборатория им. П. Л. Чебышева под руководством Станислава Смирнова. Они набирают спецгруппу, в которой очень хорошо учат, на передовом мировом уровне.
Если хотите разобраться в математике, то можно поехать и в Майкоп: в Адыгейском государственном университете есть Кавказский математический центр, и вам дадут в руки «индивидуальную траекторию нормального человека», вас в научном смысле возьмёт на поруки мой друг Сева, работающий там. Я же сам там — заместитель руководителя, А. М. Райгородского. Мне нравится там приятная атмосфера и, конечно, близость гор.
С чего начать изучение математики взрослому человеку?
Что, если человек уже взрослый, но загорелся вдруг математикой? Дам несколько советов по погружению в Царицу наук.
1. Наполнить себя смыслом.
Подготовиться к тому, что в ближайшие годы значительную часть своей жизни вы наполните изучением математики. При этом не стоит задавать себе вопрос: «Зачем мне нужна математика?» Если уже есть внутренний смысл, который вас вдохновляет, то не имеет значения, откуда он взялся. Отталкиваясь от него, можно строить индивидуальную стратегию изучения математики, выбрать подходящие ресурсы и преподавателей.
Входов в математику очень много, но нужно понимать, что при любом входе довольно быстро начинается движение в гору и «одышка головного мозга». Человек же и живёт для того, чтобы осуществлять интеллектуальные усилия и прыгать выше головы. Важно настроиться на работу и не читать книги по математике просто как художественную литературу — их надо именно понимать, выполнять упражнения и так далее.
2. «Поставить голову».
Лучше всего «ставит голову» книга «Начала теории множеств» Николая Верещагина и Александра Шеня. Эта книга даст основу для понимания (а в дальнейшем — также и самостоятельного построения!) логических рассуждений. С неё же начнется и понимание теории множеств, лежащей в основе современной математики. Это важно, потому как самая главная идея, которая отличает математику от других наук, — это наличие «абсолютного доказательства». Можно дать голову на отсечение, что любая строго доказанная математическая теорема даёт нам абсолютное, стопроцентное, универсальное знание, непоколебимое ни временем, ни пространством.
Например, в «пятнашках», действуя по правилам игры, в принципе нельзя поменять местами 14 и 15, если все остальные числа должны в конце концов остаться на своих местах. Таким же примером служит футбольный мяч, который состоит из пятиугольных и шестиугольных лоскутков: если он склеен «по три лоскутка в каждой вершине», то 5-угольных лоскутков всегда, независимо от числа 6-угольных лоскутков и от метода склейки, будет ровно 12.
Всё необходимое для проведения соответствующего рассуждения придумал Эйлер ещё 250 лет назад, и не нужно тратить время на попытки сделанные выше утверждения опровергнуть (хотя придурки всё равно с завидной регулярностью находятся — те, кто себя убеждает в том, что он «всё-таки опроверг», провёл трисекцию угла, решил общее уравнение пятой степени в форме выражения с корнями и тому подобное).
Охватить больше разделов математики поможет книга Рихарда Куранта и Герберта Роббинса «Что такое математика?». Как и книгу Верещагина и Шеня, её нужно читать внимательно, делая все упражнения.
Если чувствуете, что сложновато, то для начала подойдёт моя «Математика для гуманитариев». Её также следует читать с самого начала, страницу за страницей, не стоит браться за чтение с середины. Она не очень простая, но предварительных сведений и математической культуры не предполагает, и в этом её суть и преимущество перед многими другими. Книга поможет заново освежить знания или узнать что-то с нуля.
Чтобы понять, каким образом математика входит в нашу жизнь, можно познакомиться с двумя книгами: «Кому нужна математика?» Андрея Райгородского и Нелли Литвак и «Математическая составляющая» (сборник сюжетов под редакцией Николая Андреева).
По теории игр для начала советую две переведённые книги Диксита и Нейлбафа — «Теория игр. Искусство стратегического мышления в бизнесе и жизни» и «Стратегические игры». Есть и более сложные: А. Захаров, «Теория игр в общественных науках», Г. Колесник, «Теория игр». Самая сложная — В. Данилов, «Лекции по теории игр». Из англоязычных рекомендую Кена Бинмора «Fun and Games» или её развитие — «Playing for Real».
Если хочется познакомиться с теорией игр в лёгкой и непринуждённой форме, то есть мой курс на Национальной платформе открытого образования «Теория игр в сюжетах» https://www.youtube.com/watch?v=6JqhxxuWVkg&t=12s. Собственно, эта рекомендация относится уже к следующему разделу/совету.
3. Смотреть видеолекции.
В интернете есть огромное количество научно-популярных лекций по математике. Смотрите и понимайте мои лекции про открытые проблемы школьной математики, про знаменитые решенные математические проблемы вообще и про те из решённых задач, над которыми математики ломали голову веками. Это вдохновит вас вдумываться в глубокие и сложные рассуждения.
Например, в античные времена была такая задача: разделить произвольный угол на три равные части при помощи циркуля и линейки. Сколько было сломано копий, пока в начале XIX века человечество не накопило достаточно знаний для понимания того, что такое вообще вещественное число и какие бывают числа (рациональные, алгебраические разных «степеней», трансцендентные). Это была, можно сказать, математическая революция вселенского масштаба, которая произошла в конце XVIII — начале XIX века. После этого стало ясно, что разделить с помощью циркуля и линейки угол на три равные части в принципе невозможно. (Эта задача называется «задачей о трисекции произвольного угла», и она уже выше упоминалась в связи с поведением сумасшедших от математики — увы, такие были, есть и будут во все времена!)
4. Тренируйтесь и получайте обратную связь.
Для этого можно использовать различные онлайн-курсы — на Coursera, например. Разбавлять вдумчивое изучение теории с практическими навыками по решению упражнений и получать обратную связь. В противном случае всё то, что вы, как вам казалось, поняли, улетучится на следующий день из вашей головы. Да и сразу после прослушивания лекций вы не сможете объяснить экзаменующему вас учёному, что же там в лекциях содержалось, каковы корректные определения вводимых понятий и формулировки (не говоря уже о доказательствах!) ключевых теорем.
5. Ищите красоту!
Математика без красоты — это ремесло, а математика с красотой — это искусство. Если вам какие-то задачи нравятся и вы готовы тратить на них силы, то стоит сосредоточиться на этих задачах и двигаться вперёд по своей собственной «индивидуальной траектории» в математике, до поры