связей получает нейрон) и степень выхода (сколько связей он посылает другим нейронам). Исследование, проведенное на нейронах в коре головного мозга обезьян, показало, что эти два типа степени примерно равны, то есть нейроны отдают столько же, сколько и получают.
В 2018 году математики Кэтрин Моррисон и Карина Курто построили модель нейронной цепи с направленными ребрами, чтобы ответить на вопрос, не слишком похожий на проблему Кёнигсбергского моста. Вместо того чтобы определять, какие прогулки по городу может поддерживать определенный набор мостов, они исследовали, какую последовательность нейронных импульсов может произвести данная схема. Привлекая инструменты из теории графов, Моррисон и Курто выяснили, как рассмотреть структуру из пяти нейронов-моделей и предсказать порядок их срабатывания. Упорядоченный порядок срабатывания нейронов важен для многих функций мозга, включая память и навигацию. Модель из пяти нейронов может быть лишь игрушечным примером, но она прекрасно отражает возможности, которые обещает привнести теория графов в изучение мозга
Однако для реальных мозговых сетей необходимо использовать более "глобальную" перспективу.
* * *
В течение нескольких месяцев в конце 1960-х годов биржевой маклер, живший в Шароне, штат Массачусетс, получил от владельца местного магазина одежды 16 коричневых папок. Как ни странно, папки не стали для биржевого маклера сюрпризом. Просто они были частью неортодоксального социального эксперимента, который проводил известный социальный психолог Стэнли Милгрэм. С помощью этого эксперимента Милгрэм хотел проверить, насколько велик - или мал - мир на самом деле.
Фразу "Мир тесен" обычно произносят, когда встречаются два незнакомых человека и по счастливой случайности обнаруживают, что у них есть общий друг или родственник. Милграм хотел узнать, как часто может происходить подобное: какова вероятность того, что у двух случайно выбранных людей есть общий друг? Или друг друга? Если бы мы могли увидеть всю сеть человеческих связей - граф, где каждый узел - это человек, а каждое ребро - отношения, - каким было бы среднее расстояние между людьми? Сколько ребер нужно пройти, чтобы найти путь между любыми двумя узлами?
В смелой попытке ответить на этот вопрос Милгрэм выбрал целевого человека (в данном случае биржевого маклера из Массачусетса) и несколько стартеров: не связанных между собой людей в другой части страны (в данном случае в основном в Омахе, Небраска). Стартерам вручили пакет с папкой и информацией о целевом человеке. Инструкции были просты: если вы знакомы с объектом, отдайте папку ему; в противном случае отправьте ее своему другу, который, по вашему мнению, имеет больше шансов узнать его. Следующий человек должен был следовать тем же инструкциям, и, надеюсь, в конце концов папка оказывалась у цели. Отправителей также просили вписать свое имя в журнал, который отправлялся вместе с посылкой, чтобы Милгрэм мог проследить путь, пройденный папкой.
Изучив 44 папки, которые попали к биржевому маклеру, Милгрэм обнаружил, что самый короткий путь состоял всего из двух промежуточных людей, а самый длинный - из 10. Медиана составила всего пять человек. Прохождение папки через пять человек между стартером и целью включало в себя шесть передач, и таким образом понятие "шести степеней разделения", уже выдвинутое наблюдательными учеными и социологами, было закреплено2.
Эта концепция просочилась в народное воображение. Однажды в конце 1990-х годов отец спросил аспиранта Дункана Уоттса, понимает ли он, что от президента его отделяет всего шесть рукопожатий. Уоттс, работавший в то время у математика Стивена Строгатца, высказал эту идею, когда они обсуждали, как могут общаться группы сверчков. После этого случайного разговора "маленький мир" превратился из причудливого выражения в математически определенное свойство сети.
В 1998 году Уоттс и Строгац опубликовали работу, в которой изложили, что нужно для того, чтобы граф функционировал как маленький мир. Ключевым компонентом было понятие короткой средней длины пути - идея о том, что любые две вершины разделяет всего несколько шагов. Один из способов получить короткую длину пути - сделать граф сильно взаимосвязанным, то есть таким, в котором каждый узел напрямую соединяется со многими другими. Однако этот трюк явно противоречит тому, что мы знаем о социальных сетях: по данным Милгрэма, у среднего жителя Америки - страны с населением около 200 миллионов человек в то время - было всего около 500 знакомых.
Поэтому Уоттс и Строгац ограничили моделирование сетей редкими связями, но при этом варьировали, как именно выглядят эти связи. Они заметили, что в сети с высокой степенью кластеризации можно иметь малую длину пути. Под кластером понимается подмножество узлов, которые сильно связаны между собой, как члены одной семьи. В таких сетях большинство узлов образуют ребра только с другими узлами в своем кластере, но иногда соединение отправляется на узел в удаленном кластере. Подобно тому, как поезд между двумя городами облегчает взаимодействие между их жителями, эти связи между различными кластерами в сети поддерживают низкую среднюю длину пути.
Выявив эти характеристики в своих моделях, Уоттс и Строгац отправились искать их в реальных данных - и нашли. Система электросетей Соединенных Штатов, превращенная в граф путем рассмотрения любого генератора или подстанции как узла, а линий электропередач как ребер, имеет низкую длину пути и высокую кластеризацию сети малого мира. Граф из актеров с ребрами между любыми парами, которые вместе снимались в кино, - то же самое. И последнее место, где они искали и нашли сеть малого мира, - это мозг.
Если говорить более конкретно, то структура, которую анализировали Уоттс и Строгац, представляла собой нервную систему крошечного круглого червя Caenorhabditis elegans. Игнорируя направленность нейронных связей, Уоттс и Строгац рассматривали любое соединение как ребро, а каждый из 282 нейронов в электрической схеме червя - как узел. Они обнаружили, что любые два нейрона могут быть соединены путем, между которыми в среднем находится всего 2,65 нейрона, и что сеть содержит гораздо больше кластеров, чем можно было бы ожидать, если бы эти 282 нейрона были соединены случайным образом.
Почему нервная система нематоды должна иметь ту же форму, что и социальная сеть человека? Самой главной причиной могут быть энергетические затраты. Нейроны голодны. Им требуется много энергии, чтобы оставаться в рабочем состоянии, и добавление новых или более длинных аксонов и дендритов только увеличивает счет. Таким образом, полностью взаимосвязанный мозг - это непомерно дорогой мозг. Если же связи становятся слишком редкими, то нарушается сама функция мозга - обработка и маршрутизация информации. Необходимо найти баланс между стоимостью проводов и пользой от обмена информацией. Маленькие миры именно так и поступают. В маленьком мире чаще всего встречаются относительно дешевые связи между клетками в локальном кластере. Дорогие