Местонахождение точечного объекта теоретически может быть названо точечным пространством. Оно предполагается эквивалентным не только местонахождению объекта, все размеры которого равны нулю, но и такого объекта, который фактически обладает некоторой совокупностью ненулевых размеров.
Точечной массой (или материальной точкой) в механике принято называть точку, в которой мысленно сосредоточена вся масса изучаемого физического тела. В действительности никакой точечной массы нет. Она является всего лишь безразмерной научной моделью действительного объекта, обладающего размерами.
Координатами (coordinate) называются числа, которые определяют местонахождение или состояние точки (или точечного объекта) в пространстве в любой момент времени. Идеальную точку, в которой нет никакой массы, мы можем использовать для определения местонахождения идеальных объектов.
Измерением (dimension) пространства мы называем каждое направление в пространстве, которое используется для отсчета соответствующей координаты. Количество измерений пространства равно количеству независимых координат. Всякое пространство имеет какое-то конкретное количество измерений. Например, пространственными измерениями вашей комнаты являются: длина, ширина и высота.
Coordinate – one of a set of numbers that determines the lokation of a point in a space of a given dimension. Dimension – any of the least number of independet coordinates required to specify a point in a space uniquely.
Координатной осью мы называем шкалу отсчета – прямую линию, на которой в определенном масштабе откладываются координаты – числа, определяющие положение или состояние объекта в каком-то одном конкретном измерении или направлении данного пространства.
Для определения местонахождения точки (или точечного объекта) в пространстве обычно пользуются прямоугольной системой координат, которая состоит из взаимно-перпендикулярных координатных осей, пересекающихся в одной точке. Количество этих осей равно количеству независимых координат, а следовательно, количеству измерений данного пространства. Координаты прямоугольной системы координат принято называть ортонормированными.
Существует много других систем координат. Так система координат, для которых не все координатные линии прямые, называются криволинейными, например определяющие положение точки на земной поверхности. Однако если специально не оговорено, в дальнейшем мы будем иметь в виду прямоугольные системы координат, которые называют еще декартовыми по имени Рене Декарта (1596-1650) – французского ученого и философа.
Геометрия не есть пространство. Она является всего лишь научной моделью пространства, позволяющая изучать пространство и его взаимоотношение с объектом с определенными допущениями. Например, прямую линию можно себе представить как дугу окружности с бесконечно большим радиусом. Однако бесконечно больших чисел в физическом мире нет. Следовательно, бесконечно больших радиусов тоже нет. А это в свою очередь означает, что прямых линий (а следовательно, и плоскостей) в мире нет и быть не может. Тем не менее допущение о прямолинейности координатных осей позволяет нам решить многие проблемы без ущерба для качества наших практических и теоретических исследований.
Чтобы определить местонахождение какого-либо точечного объекта в пространстве, необходимо установить степень его удаленности от какого-то «начала». Но никакого «абсолютного начала» у относительного пространства нет и не может быть. Однако такого рода «начало» может быть относительной категорией, а не абсолютной. В связи с этим за начало отсчета в пространстве может быть принята любая его точка на пересечении всех координатных осей. Обычно оно выбирается там, где находится «условный» наблюдатель. Тогда, вычислив путь, пройденный рассматриваемым точечным объектом от такого рода условного «начала» отсчета, мы можем определить его местонахождение в пространстве в любой момент времени. Эти числа, определяющие положение точечного объекта в пространстве, и принято называть координатами.
С точки зрения не только геометрии или математики, но и других наук, совершенно безразлично, что именно мы понимаем под термином «пространство»: пространство перемещения или же пространство изменения свойств объекта. Под термином «движение» мы можем подразумевать как «механическое перемещение» так и «изменение свойств» объекта. Например, зависимость у=ах может графически или «пространственно» выражать: перемещение шарика по биллиардному столику, увеличение температуры воздуха от утра до полудня или же накопление количества знаний в зависимости от количества прочитанных книг и т. д.
Уравнением связи называется функциональная зависимость одной координаты от другой или других координат. Координаты называются независимыми, если они никак не зависят друг от друга и не связаны поэтому никакими уравнениями. Из высшей математики известно, что если положение или состояние системы можно полностью определить посредством некоторого количества к независимых величин х1, х2….,хk, которыми, в частности, могут быть декартовы координаты, то эти величины называются обобщенными координатами, где k – количество обобщенных координат, равное количеству измерений пространства.
Если местонахождение или состояние точки (или точечного объекта) в пространстве в любой момент времени может быть определено одной координатой, то такое пространство называется одномерным. Примерами одномерных пространств могут служить не только прямые, но и любые кривые линии.
Если местонахождение или состояние точки (или точечного объекта) в пространстве в любой момент времени может быть определено двумя независимыми координатами, то такое пространство называется двухмерным. Примерами двухмерных пространств могут служить не только плоскости, но и любые кривые поверхности.
Если местонахождение или состояние точки (или точечного объекта) в пространстве в любой момент времени может быть определено тремя независимыми координатами, то такое пространство называется трехмерным. Примером трехмерного пространства является физическое пространство нашей Вселенной.
Если местонахождение или состояние точки (или точечного объекта) в пространстве в любой момент времени может быть определено четырьмя независимыми координатами, то такое пространство называется четырехмерным. Примером четырехмерного пространства является четырехмерный пространственно-временной континуум нашей Вселенной, четвертое измерение которого (время) мы непосредственно не ощущаем по той причине, что нам не дано свободы перемещения во времени.
Если местонахождение или состояние точки (или точечного объекта) в пространстве в любой момент времени может быть определено пятью независимыми координатами, то такое пространство называется пятимерным и т. д.
Свободой в теории пространства мы называем возможность выбора направления движения, изменения, развития или действия. Количеством степеней свободы мы называем такое количество измерений пространства, которое точечный объект может использовать по своему выбору.
Например, положение неподвижного камня в трехмерном пространстве определяется тремя независимыми координатами. Но тем не менее неподвижный камень в трехмерном пространстве не обладает никакой свободой вообще, ибо он для своего движения не может использовать ни одну из трех измерений того пространства, в котором он существует. Где он лежит, там он и обязан лежать. Биллиардный шарик имеет всего лишь одну степень необходимости (а не свободы) движения в том направлении, куда его ударил игрок.
Положение машины в трехмерном пространстве определяется также тремя независимыми координатами. Но тем не менее машина, управляемая человеком, может использовать всего лишь два измерения из трех, ибо она не может оторваться от земли и использовать третье измерение того пространства, в котором она существует. Поэтому мы говорим, что такая машина обладает двумя степенями свободы в трехмерном пространстве.
Птица обладает тремя степенями свободы в трехмерном пространстве. Но стоит ей приземлиться и утратить свою способность к полету, как количество степеней ее свободы окажется равным двум.
К сожалению, определения некоторых терминов в механике и философии не совпадают. Так например, в механике под термином «количества степеней свободы» подразумевается «количество степеней необходимости», равное количеству точечных объектов. В объективной действительности свободу выбора имеют только лишь живые объекты, рассматриваемые в философии. Неживые материальные объекты, рассматриваемые в механике, не обладают никакой свободой. У каждого из них есть только лишь одна-единственая степень необходимости действовать так и только лишь так, как диктуется им законами природы.