Используя этот разнородный материал, математики стран Ближнего Востока и Средней Азии ввели все основные тригонометрические линии. В связи с задачами астрономии они составили таблицы тригонометрических функций с большой частотой и высокой точностью. Данных накопилось при этом так много, что стало возможным изучать свойства плоских и сферических треугольников, способы их решений. Получилась стройная система тригонометрии как плоской, так и сферической. Ее представляет, например, сочинение Насирэддина (1201–1274) «Трактат о полном четырехстороннике».
Тригонометрия в математике средневекового Востока приобрела положение отдельной математической науки. Из совокупности вспомогательных средств астрономии она преобразовалась в науку о тригонометрических функциях в плоских и сферических треугольниках и о способах решения этих треугольников. Алгоритмически-вычислительные средства стали играть в ней преобладающую роль. Оставался один только шаг: введение специфической символики, чтобы тригонометрия приобрела привычный нам аналитический облик. Однако для этого шага понадобилось много времени! Дальнейшее развитие эта наука получила со второй половины XVI века в Европе, в первую очередь под влиянием запросов мореплавания и астрономии. В конце этого века появилось и название науки, «тригонометрия», от греческих слов измерение треугольников.
В ряду геометрических сочинений обращают на себя внимание глубокие исследования по основаниям геометрии. В сочинениях Хайяма и Насирэддина мы находим попытки доказательства постулата о параллельных, основанные на введении эквивалентных этому постулату допущений. Имена этих математиков с полным правом могут быть помещены историками в длинном ряду предшественников неевклидовой геометрии.
Примерно в середине XV века развитие математических наук в описываемых нами здесь арабских регионах замедляется и прекращается. Причины этого явления лежат вне математики: они — в наступившем экономическом разобщении обширных территорий, о которых шла речь выше.
Математика европейского Средневековья
В Западной Европе математика не имеет столь древнего происхождения, как в странах Ближнего и Дальнего Востока. Заметные успехи появились тут лишь в эпоху позднего Средневековья и особенно Возрождения. А основной организационной предпосылкой развития математики в Европе стало открытие учебных заведений. Одно из первых организовал во французском городе Реймсе Герберт (940–1003), позже ставший римским папой с именем Сильвестр II.
Французский монах Герберт из Орильяка — первый профессиональный ученый католической Европы. В 970-е годы он поселился в Барселоне, выучил арабский язык и начал беседовать с учеными иноверцами обо всем на свете. Астрономия и арифметика, изготовление бумаги и музыкальных инструментов, во всем этом жители Андалузии превосходили лучших мастеров Франции или Италии, и все это Герберт старался перенять. Через пять лет он сделал очередной шаг: направился в центр Андалузии — Кордову, и три года учился у местных мудрецов. Ему не раз предлагали принять ислам. Но у него была другая цель: соединить арабскую мудрость, ученость древних греков и римлян с христианским богословием; сделать этот сплав достоянием всех католиков.
Вернувшись во Францию, Герберт устроил в городе Реймсе училище по своему вкусу. В нем юноши обучались латыни и греческому, а желающие — также арабскому и древнееврейскому языкам. Кроме этого, преподавались астрономия и музыка, арифметика на основе арабских цифр. Все необходимые приборы строил сам Герберт с помощью учеников. Гербер привез с собой много книг из-за Пиренеев; это были Платон и Аристотель, Евклид и Птолемей, множество арабских рукописей.
В реймской школе Герберта, кроме прочих наук, учили счету с применением счетной доски — абака, которую усовершенствовали путем замены пустых жетонов, каждый из которых имел значение единицы, на жетоны с написанными на них цифрами.
В то время существовало много способов счета. Были даже две враждующие партии: абакистов и алгоритмиков. Первые отличались требованием обязательного использования абака и двенадцатиричной римской нумерации. Алгоритмики пользовались индусскими цифрами, некоторые вводили знак нуля, счет вели на бумаге, применяли шестидесятиричные дроби. В спорах формировались системы счисления и приемы арифметического счета, все более близкие к привычным нам системам и приемам.
Многие европейские правители стремились отдать своих сыновей в учение к Герберту. В 996 году один из его питомцев (Роберт II) получил корону Франции; Герберт был назначен епископом Реймса, и этот город на века стал церковным центром Франции. В 999 году другой его ученик (Оттон III) стал императором Священной Римской империи. Тут уж Герберту пришлось стать римским папой.
В Риме нового папу многие восприняли, как чернокнижника. Ведь он удивительно быстро считает с помощью арабской доски — абака, и не пользуется римскими цифрами! Да еще умеет предсказать исход бросания костей в игре! Он сам следит за движением звезд, строит благозвучные органы, а богословских споров избегает. Небывалый человек на престоле святого Петра!..
Не хватало широких контактов между католическим и исламским мирами. Они начались только в эпоху Крестовых походов — в самом конце XI века, когда кастильские рыцари захватили половину Пиренейского полуострова и его древнюю столицу Толедо. Вскоре туда потянулись многие последователи Герберта из Орильяка: Аделяр из Бата в Англии, Герардо из Кремоны в Италии. Все они стремились перевести на общедоступную латынь с арабского или греческого языков труды древних ученых Эллады и Рима. Аделяр перевел «Начала» Евклида и ряд книг Хорезми. Герардо открыл для католиков Аристотеля и Птолемея.
Длинное название книги Птолемея («Мегале Математике Синтаксис») арабы сократили до первого слова: получилось «Величие» — Аль-Магест. Новым европейцам понравилось второе слово в этом названии — «Учение» (Математика). И вот с XII века все европейцы называют так науку о числах и фигурах.
В XII–XIII веках появились в Европе университеты. Самыми первыми были итальянские в Болонье, Салерно и других городах. Вслед за ними открылись университеты в Оксфорде и Париже (1167), Кембридже (1209), Неаполе (1224), Праге (1347), Вене (1367).
Эти учебные заведения были безраздельно подчинены церкви. Уровень математических познаний выпускников был низок; во многих европейских университетах вплоть до XVI века от лиц, претендовавших на звание магистра, по математике требовалась только клятва, что он знает шесть книг евклидовых «Начал».
В 1202 году Европа получила первый собственный учебник арифметики для широкого читателя, «Книга Абака». Его составил Леонардо Фибоначчи из Пизы (1180–1240). Арифметике он учился в Алжире у местных мусульман. Позднее Фибоначчи написал учебник «Практическая геометрия» и «Книгу квадратов». В них впервые были изложены на латыни правила действий с нулем и отрицательными числами, а также появились знаменитые числа Фибоначчи.
В «Книге об абаке» 15 отделов. В первых семи изложены исчисление целых чисел по позиционной десятичной системе и операции с обыкновенными дробями. Отделы 8–11 содержат приложения к коммерческим расчетам: простое и сложное тройное правило, пропорциональное деление, задачи на определение монетных проб. (помните об алхимии). Разнообразный набор задач, решаемых с помощью простого и двойного ложных положений, суммированием арифметических прогрессий и квадратов натуральных чисел, нахождением целочисленных решений неопределенных уравнений первой степени, составляет отделы 12 и 13. Предпоследний, 14-й отдел посвящен вычислению квадратных и кубических корней и операциям с «биномиями». Завершается «Книга об абаке» 15-м отделом, содержащим краткое изложение алгебры и альмукабалы, близкой к алгебре Хорезми, а также задачи на непрерывные числовые пропорции и геометрические задачи, сводящиеся к приложению теоремы Пифагора.
Время, протекшее после работ Леонардо Фибоначчи вплоть до эпохи Возрождения, в историю математики не внесло ярких идей и больших открытий. Однако в эти столетия в математике происходил интересный и малоизученный процесс накапливания предпосылок. Но что более важно, шла подготовка собственных кадров. Математические знания распространялись среди все более широких кругов ученых, а наличие большого числа поставленных и осознанных, но еще не решенных теоретических и практических задач влекло к новому научному подъему.
В этих условиях наметились два главных направления развития математики: серьезное усовершенствование алгебраической символики и оформление тригонометрии как особой науки.
Еще современник Фибоначчи генерал доминиканского монашеского ордена Иордан Неморарий (род. 1237) изображал с помощью букв произвольные числа. Впрочем, буквенного исчисления из этого не получилось, так как результат любой операции над двумя буквами обязательно обозначался третьей буквой (a+b=c, ab=d и т. д.).