Природа говорит с нами на языке математики. Вернее сказать, природа обращается к нам сразу на многих диалектах единого математического языка. Мы называем эти диалекты арифметикой, геометрией, алгеброй или математическим анализом, но не всегда чувствуем их единство, а многих диалектов мы еще не знаем.
Следующее открытие связано с именем Кеплера.
Иоганн Кеплер (1571–1630) вошел в большую науку в 1600 году, когда императорский астроном Тихо Браге принял его на работу в Пражскую обсерваторию. Тщательно наблюдая за движением планет среди звезд в течение 30 лет, Браге накопил огромный запас точных данных, но не мог привести их в единую систему. Он быстро отверг давнюю геоцентрическую модель Птолемея и недавнюю гелиоцентрическую модель Коперника (в которой сохранилась система эпициклов, введенных Гиппархом). Но каковы истинные траектории полета планет в пространстве? В каком режиме они движутся по этим кривым? Браге поручил Кеплеру разобраться в движении Марса: оно более всего противоречит здравому смыслу, ибо временами Марс вдруг останавливается среди планет и пятится назад.
Кеплер сразу догадался: если орбита Марса не может быть окружностью, то, скорее всего, она — эллипс. Кажущееся движение Марса вспять можно объяснить просто: Солнце находится не в центре эллипса, а сдвинуто куда-то вбок. Куда? Видимо, в фокус эллипса, самую замечательную точку, связанную с этой кривой. Но в каком режиме движется Марс по своему эллипсу, можно выяснить только путем громоздких расчетов. Эта работа заняла у Кеплера 8 лет; он испытал и отверг около 20 разных гипотез, пока не нашел (в 1609 году) истинную: за равные отрезки времени вектор, соединяющий Солнце с Марсом, заметает в плоскости их общего движения секторы равной площади.
Чтобы справиться с огромным объемом вычислений, Кеплеру пришлось сделать два замечательных изобретения. Во-первых, он научился заменять умножение многозначных чисел сложением их логарифмов. Во-вторых, Кеплер научился вычислять путь, пройденный планетой за данное время, по известной (переменной) скорости планеты.
Переход от чисел к их логарифмам и обратно требует громоздких и точных таблиц. Сначала Кеплер составлял их сам; но в 1614 году появились подробные таблицы логарифмов Чарльза Непера. За 20 лет упорного труда этот шотландец рассчитал не только логарифмы чисел, но и логарифмы значений всех тригонометрических функций: они постоянно встречаются в астрономических расчетах.
Логарифмический метод
Умножение, деление, возведение в степень и извлечение корня — действия, гораздо более трудоемкие, чем сложение и вычитание, особенно тогда, когда нужно работать с многозначными числами. Настоятельная потребность в таких действиях впервые возникла в XVI веке в связи с развитием дальнего мореплавания, вызвавшим усовершенствование астрономических наблюдений и вычислении. На почве астрономических расчетов и возникли на рубеже XVI и XVII веков логарифмические вычисления.
В настоящее время эти вычисления применяются повсюду, где приходится иметь дело с многозначными числами. Они выгодны уже при действиях с четырехзначными числами и совершенно необходимы в тех случаях, когда точность должна доходить до пятого знака. Большая точность на практике требуется очень редко.
Ценность логарифмического метода состоит в том, что он сводит умножение и деление чисел к сложению и вычитанию — действиям менее трудоемким. Возведение в степень, извлечение корня, а также и ряд других вычислений (например, тригонометрических) также значительно упрощаются.
Выясним идею метода на примерах.
Пусть требуется помножить 10 000 на 100 000. Конечно, мы не станем выполнять этого действия по схеме умножения многозначных чисел. Мы просто сосчитаем число нулей в множимом (4) и множителе (5), сложим эти числа (4+5=9) и сразу напишем произведение 1 000 000 000 (9 нулей). Законность такого вычисления основана на том, что сомножители суть (целые) степени числа 10: множится 10^n на 10^m; при этом показатели степеней складываются. Точно так же сокращенно выполняется и деление степеней десяти, здесь деление заменяется вычитанием показателей. Но так можно делить и умножать лишь немногие числа. Например, в пределах первого миллиона можно брать (не считая 1) лишь 6 чисел: 10, 100, 1000, 10 000, 100 000, 1 000 000. Чисел, допускающих подобное умножение и деление, будет гораздо больше, если взять вместо основания 10 другое, более близкое к 1. Возьмем, например, основание 2 и составим таблицу его первых 12 степеней.
Показатели степеней мы будем теперь называть логарифмами, а степени — просто числами.
Чтобы перемножить какие-либо два числа, достаточно сложить два их логарифма. Например, чтобы найти произведение 32 и 64, сложим стоящие рядом с 32 и 64 числа 5 и 6; 5+6 ==11. У числа 11 находим результат: 2048. Чтобы разделить 4096 на 256, возьмем числа 12 и 8; вычитаем: 12–8 = 4. У числа 4 находим ответ: 16. Если ввести нулевую и отрицательную степени числа 2, то можно будет выполнять и деление меньших чисел на большие.
Хотя среди степеней числа 2 гораздо меньше пробелов, чем среди степеней числа 10, все же в таблице нет очень многих чисел. Поэтому практического значения и эта таблица не может иметь. Но если за основание взять число, гораздо более близкое к 1, чем число 2, то этот дефект будет устранен.
Примем, например, за основание число 1,00001. В пределах между 1 и 100 000 окажется свыше миллиона (1 151 292) его последовательных степеней. Если мы округлим значения этих степеней, сохранив лишь шесть значащих цифр, то среди миллиона округленных результатов окажутся все целые числа от 1 до 100 000. Правда, это будут лишь приближенные значения степеней. Но так как при умножении и делении пятизначных целых чисел нас будут интересовать только первые пять знаков результата, то составленные таблицы позволят перемножать, делить и т. д. пятизначные целые числа, а следовательно, и десятичные дроби, имеющие пять значащих цифр.
Именно так и были составлены первые таблицы логарифмов. Вычисление их потребовало многолетней неутомимой работы. Еще 400 лет назад этому нужно было посвятить всю жизнь. Но зато колоссально возросла производительность труда многих тысяч вычислителей, пользовавшихся раз навсегда составленными таблицами.
Швейцарец Бюрги (ок. 1590) составил первую таблицу логарифмов. Несколько позднее и независимо от него составил свои таблицы логарифмов шотландец Непер, который брал за основание число, очень близкое к единице. Но Бюрги опубликовал свою работу лишь в 1620 году, а таблицы Непера появились раньше, в 1614 году.
В настоящее время в таблицах логарифмов кладется в основание число 10, что дает ряд вычислительных преимуществ (так как наша нумерация — десятичная). При этом для получения целых чисел приходится брать дробные степени числа 10.
Идея составления таблицы десятичных логарифмов принадлежит Неперу и его сотруднику англичанину Бриггу. Они совместно начали работу по пересчету прежних таблиц Непера на новое основание 10. После смерти Непера Бригг продолжил и закончил эту работу, и опубликовал ее полностью в 1624 году, поэтому десятичные логарифмы называются иначе бригговыми.
Таблицы Непера открыли путь к автоматизации всех арифметических вычислений; первым шагом в этом направлении стала привычная нам логарифмическая линейка.
Ее изобрел в 1622 году англичанин Вильям Оутред. При этом он использовал десятичные логарифмы. Следующие шаги в автоматизации вычислений сделали француз Блез Паскаль (1642) и немец Вильгельм Лейбниц (1671). Паскаль построил первый механический арифмометр, выполняющий сложение и вычитание многозначных чисел. Арифмометр Лейбница позволил также умножать и делить многозначные числа. Следующий важный шаг в развитии вычислительной техники был сделан только в ХХ веке, когда появились компьютеры.
Цифровые механизмы
Историю цифровых устройств начать следует со счетов. Подобный инструмент был известен у всех народов. Древнегреческий абак (доска или «саламинская доска» по имени острова Саламин в Эгейском море) представлял собой посыпанную морским песком дощечку. На песке проводились бороздки, на которых камешками обозначались числа. Одна бороздка соответствовала единицам, другая — десяткам и т. д.
Если в какой-то бороздке при счете набиралось более 10 камешков, их снимали и добавляли один камешек в следующем разряде. Более поздней конструкцией была мраморная доска с выточенными желобками и мраморными шариками.
У китайцев в основе счета лежала не десятка, а пятерка, рамка китайских счетов суан-пан имеет более сложную форму. Она разделена на две части: в верхней части на каждом ряду располагаются по 5 косточек, в нижней части — по две. Таким образом, для того чтобы выставить на этих счетах число 6, ставили сначала косточку, соответствующую пятерке, и затем прибавляли одну в разряд единиц.