Но и в Индии есть мифический период в развитии математики. Согласно традиции, самыми ранними памятниками математической культуры индийцев являются религиозные книги: сутры и веды. Их происхождение относят к VIII–VII векам до н. э. В них приводились геометрические построения, составляющие важную часть ритуальных условий при постройке культовых сооружений: храмов, алтарей и прочего, а потому в них можно найти первые способы квадрирования кругов и применение теоремы Пифагора. Видимо, как следствие архитектурных требований решалась и арифметическая задача о нахождении пифагоровых троек натуральных чисел.
Числовая система с древних времен определилась как десятичная. Столь же рано определилась склонность к оперированию большими числами, нашедшая отражение в легендах. Будда, например, отличался феноменальным умением считать; он строил числовые десятичные системы до 10^54, давая наименования каждому разряду. Женихи прекрасной богини Земли, добиваясь ее руки, обязаны были соревноваться в письме, арифметике, борьбе и стрельбе из лука. Победитель соревнования Сарватасидда придумал, в частности, шкалу чисел, идущих в геометрической прогрессии со знаменателем 100, до числа с 421 нулем. Пристрастие к операциям с большими числами сохранялось в течение всей истории математики в Индии. Но мы не знаем, к какому реально периоду времени эти труды относятся.
Появление позиционного принципа в индийской математике относят к V веку.[22] Отныне числовое значение каждой цифры определялось ее местом влево от конца цифрового ряда. Передвижение цифры на одно место увеличивало ее числовое значение в 10 раз. В соответствии с десятичным принципом индийцы разработали знаки для 9 цифр и десятый знак, нуль. Знак нуля (шунья — пустой) сначала обозначался точкой, потом кружком. И кстати, по некоторым другим сведениям, первые записи с нулем датируются 876 годом.
Арабы (раньше всего в Багдадском халифате) узнали о математических открытиях индийцев в VIII веке благодаря торговым и дипломатическим сношениям. Сразу же подхваченная арабами цифровая система стала известна в Западной Европе под названием арабской к XII веку, по-видимому, через арабские владения в Испании. Слово сифр, впоследствии принятое в европейских странах для обозначения цифр вообще, исходно значило по-арабски нуль. В английском языке до сих пор слово cipher означает нуль, цифру, шифр.
Наиболее яркий период развития, оставивший самые значительные образцы математической литературы, это V–XII века. В это время трудились выдающиеся индийские ученые, математики и астрономы: Ариабхатта (считается, что он жил в конце V века), Брахмагупта (считается, что он родился в 598 году), Магавира (IX век), Бхаскара Акарья (родился в 1114 году) и другие.
Ариабхатта дал наиболее точное в то время определение числа «пи» — 3,1416, вычислил значение корней второй и третьей степени. Для понятия корень он использовал перевод греческого слова basis, обозначавшего одновременно основание и корень. В XII веке это понятие было переведено на латынь словом radix (корень), из которого во многие языки вошли понятия корень и радикал.
Брахмагупта в стихотворной форме написал огромное сочинение в 20 книгах «Усовершенствованная наука Брамы». Он излагал основы арифметики и геометрии, алгебры и метрология; занимался действиями над целыми числами и дробями и извлечением корней. Он решал задачи на бассейны и смеси; посвятил место суммированию рядов, планиметрии, вычислению различных объемов, задачам неопределенного анализа и задачам комбинаторики.
Главной особенностью индийской математики является преобладание вычислительных приемов, преподносимых учащимся или читателям в догматической форме.
Представление о бесконечно больших числах ввел в математику Бхаскара. Он пояснял, что бесконечно большое — это тоже число, но не претерпевающее изменений, приращения или ущерба, какое бы большое число мы к нему ни прибавляли или от него ни отнимали; его, по выражению Бхаскары, можно уподобить вечному времени бесконечной цепи существовании.
Индийские математики ввели в расчеты и правильно трактовали понятие отрицательного числа. Это пример, как иной подход к проблеме позволяет получать другие результаты. Ведь византийцы работали с отрезками прямых, представить себе отрезок отрицательной длины невозможно. Да и нулевой отрезок имеет мало смысла.
Другое дело — индийская математика. Брахмагупта разъясняет, что числа могут трактоваться либо как имущество, либо как долг. Правила операций с числами тогда таковы: сумма двух имуществ есть имущество, двух долгов — долг, имущества и долга — их разность, которая либо долг, если он больше, либо имущество, если оно больше, либо нуль, если они равны. Сумма нуля и долга есть долг, имущества и нуля — имущество. Произведение двух имуществ или двух неимуществ есть имущество; результат произведения имущества на долг представляет убыток. То же правило справедливо и при делении. Квадрат имущества, или долга, есть имущество; имущество имеет два корня: один составляет прибыль, другой — долг. Корня убытка не существует, ибо таковой не может быть квадратом. Однако, вводя отрицательные числа, индийские математики не использовали их как равноправные элементы математики, считая их только чем-то вроде логических возможностей, потому что, по выражению Бхаскары, люди с ними не согласны.
Развитие методов решения задач неопределенного или диофантова анализа представляет одно из высших достижений индийской математики. Причина заинтересованности математиков Индии в решении подобных задач лежит, по-видимому, в необходимости изучения периодически повторяющихся явлений, обильные примеры чего дает астрономия. В самом деле, вопрос о периоде времени, состоящем одновременно из целого числа дней (х) и целого числа лет (у), приводит к неопределенному уравнению: 10 960 у = 30 х. Другие вопросы, например, о периоде совпадения некоторых явлений, приводят к полным неопределенным уравнениям. Индийские ученые умели находить целочисленные решения различных видов неопределенных уравнений 1-й и 2-й степени.
Но характерная форма изложения, при которой не воспроизводится ни хода рассуждений, ни доказательства, не дает возможности судить о теоретико-числовых методах индийских математиков. Однако то немногое, что известно, показывает на наличие ряда теоретико-числовых методов.
Индийская геометрия тоже носит все черты практического подхода к делу. Есть чертежи, есть правила, но иногда правил нет, а под чертежом написано только: «смотри!». Некоторый интерес представляют тригонометрические таблицы, в которых хорды заменены полухордами. При этом вводятся в рассмотрение по существу тригонометрические функции: синусы, косинусы и синусы-верзусы (sinvers а = 1 — cos а).
Индийский математик Варахамихира заменил хорду (дживу) в тригонометрии половинной хордой. В его «Пангасиддханте» использовались понятия котиджива и уткра-маджива. Все эти понятия в VIII веке заимствовали арабские математики; термин джива они изменили на джиба, а затем и на джайб — впадина, изгиб, излучина. Этот термин был переведен с арабского языка на латинский в его буквальном значении словом sinus. Cosinus — сокращение от complementisinus (дополнение синуса).
В истории Индии имеется много фактов, свидетельствующих об экономических и политических связях с византийским и арабским миром и с Китаем. В математике считается бесспорным индийское происхождение десятичной системы счисления с нулем и правил счета. Можно проследить заимствование индусами от византийцев некоторых геометрических фактов и т. д.
В заключение еще раз отметим, что как о китайской, так и об индийской математике мы располагаем вообще очень ограниченным запасом сведений.
О математике древнего Вавилона
Во-первых, мы будем называть Вавилоном комплекс государств, которые, по мнению традиционной истории, сменяли друг друга на территории междуречья Тигра и Евфрата. От этих государств дошло до нас около ста тысяч глиняных табличек с записями, сделанными клинописью. Однако табличек с текстами математического содержания известно только около 50, а математических таблиц без текста — около 200.
Клинописный текст ВМ 85 194 содержит 16 задач с решениями. Задачи относятся к плотинам, валам, колодцам, водяным часам и земельным работам. Четвертая задача, снабженная чертежом, относится к круговому валу. 14-я задача рассматривает усеченный конус. Объем его определяется умножением высоты на полусумму площадей верхнего и нижнего оснований.
Вавилонская система имеет два основных элемента: «клин» V с числовым значением 1 и «крючок» < с числовым значением 10. Повторением этих знаков можно записать числа от 1 до 59. Любое число записывается слева направо по принципу N = a(0)60^0 + a(1)60^1 +…