Клинописный текст ВМ 85 194 содержит 16 задач с решениями. Задачи относятся к плотинам, валам, колодцам, водяным часам и земельным работам. Четвертая задача, снабженная чертежом, относится к круговому валу. 14-я задача рассматривает усеченный конус. Объем его определяется умножением высоты на полусумму площадей верхнего и нижнего оснований.
Вавилонская система имеет два основных элемента: «клин» V с числовым значением 1 и «крючок» < с числовым значением 10. Повторением этих знаков можно записать числа от 1 до 59. Любое число записывается слева направо по принципу N = a(0)60^0 + a(1)60^1 +…
Таким образом, система счисления оказывается позиционной 60-ричной. Однако эта система не знает нуля. При отсутствии промежуточного разряда употреблялся специальный знак, игравший роль нуля. Но отсутствие низшего разряда не обозначалось. Таким образом, число, обозначающееся тремя единицами, можно было считать и как 3, и как 180, и как 10 800, и т. д. Различить их можно было только по смыслу текста.
Запись 3 могла также означать 3/60, 3/3600 и т. д., подобно тому, как числа 0,3, 0,03, 0,003 и т. д. в десятичной системы. Вот что значит наличие позиционной системы и отсутствие нуля!
Наряду с 60-ричной системой нумерации вавилоняне пользовались и десятичной системой, но она не была позиционной. В ней, кроме знаков для 1 и 10, существовали знаки для 100, 1000 и 10 000.
Вообще возникновение такой системы не очень понятно. Возможно, шестидесятеричная система существовала здесь и раньше, но люди, умевшие писать, были людьми другой культуры и поэтому, сохранив шестидесятеричную систему, стали использовать не 12-ричную, а десятичную. Это могло произошло и под влиянием Византии, где шестидесятеричная система выводится из геометрии. Самое простое — делить окружность на шесть частей, которые потом делятся на 10 частей. Как бы то ни было, мы сегодня не знаем, когда и как возникла здесь шестидесятеричная система. На этот счет строились много гипотез, но ни одна пока не доказана.
Интересно, что хотя шестидесятеричная запись целых чисел не получила распространения за пределами ассиро-вавилонского царства, шестидесятеричные дроби проникли далеко за эти пределы: в страны Ближнего Востока, Средней Азии, в Северную Африку и Западную Европу. Они широко применялись, особенно в астрономии, вплоть до изобретения десятичных дробей, то есть до начала XVII века. Следы шестидесятеричных дробей сохраняются и поныне в делении углового и дугового градуса, а также часа на 60 минут и минуты на 60 секунд.
Содержание табличек показывает, что на основе этой системы были созданы многие единообразные правила арифметических действий как с целыми числами, так и с дробями. Для облегчения действий существовали таблицы умножения (от 1х1 до 60х60). При перемножении больших чисел с помощью таблицы находились частичные произведения, которые затем складывались. Деление производилось с помощью таблиц обратных значений. А кроме них, использовали таблицу квадратов целых чисел, их кубов, обращенные таблицы (квадратных корней), таблицы чисел вида n^2 + n^3 и т. д.
В ряде вавилонских текстов содержится исчисление процентов (на самом деле это не проценты как одна сотая часть числа, а одна шестидесятая часть числа) за долги, пропорциональное деление. Ряд текстов посвящены решению задач, которые с современной точки зрения сводятся к уравнениям 1-й, 2-й и даже 3-й степени.
Б.Л. ван дёр Варден классифицировал все приемы решения задач в вавилонских табличках. Он пришел к выводу, что эти приемы эквивалентны приемам решения всего десяти видов уравнений и их систем. Наконец, в 1945 году Нейгебауер и Сакс опубликовали расшифровку чрезвычайно интересной таблички, хранящейся в библиотеке Колумбийского университета (США). В ней оказался перечень прямоугольных треугольников с рациональными сторонами, то есть троек пифагоровых чисел x^2 + y^2 = z^2.
Геометрические знания вавилонян содержали помимо общих типов задач также начатки измерения углов и тригонометрических соотношений. В основном, впрочем, они тоже состояли из вычислений площадей и объемов прямолинейных фигур, обычных для элементарной геометрии. Площадь круга вычислялась по формуле S = c^2/12 (где с — длина окружности), откуда получается плохое еще приближение «пи» = 3.
Внимание ряда исследователей привлекала и пленяла высокая алгоритмичность, проявленная в математических текстах Вавилона. Это давало повод к высказыванию предположений, что в те времена культивировались общие методы, отвлеченные от конкретных задач и представлявшие своеобразную алгебру. Однако существуют и более осторожные оценки математических достижений вавилонян. Мы же можем сказать, что вавилонские математические традиции лежат в русле развития математики сопредельных государств Ближнего Востока. Они являются ранним этапом этого развития, вместе с математикой ранней Византии, из которой многое позаимствовали.
Математика арабоязычного мира
На обширных территориях, от северо-запада Индийского полуострова до северного побережья Африки и юга Испании, существовали многочисленные восточные государства. Созданные нередко путем завоеваний, огромные, но не связанные в единый хозяйственный организм, они не обладали политической устойчивостью и имели сложную, полную превратностей судьбу. Научные и культурные традиции населяющих их народов развивались в таких условиях сравнительно медленно.
Начиная с VII века эти страны выделились из Византийской (Ромейской) империи под знаком борьбы за господство новой религии — ислама (или, иначе, магометанства, мусульманства). В течение ряда веков образовалась колоссальная область торгового обмена и экономических связей. Возникли большие города как центры торговли, ремесел и административного управления. Новая религия заняла господствующее положение, и арабский язык стал практически единым языком официальных документов, религиозных книг, научных трактатов и художественно-поэтических сочинений.
Условия хозяйственной и политической жизни благоприятствовали развитию математики, которая требовалось для государственного управления, ирригации, строительства, торговли и ремесел. Международные связи, осуществляемые с помощью длительных путешествий по морям, горам и неизведанным местностям, вынуждали развивать математику для нужд географии и астрономии.
Поэтому многие восточные правители и целые династии проводили политику государственного покровительства наукам. В аппарате государственного управления появились специально оплачиваемые ученые. Для них строились обсерватории, собирались библиотеки из древних сочинений, которые разыскивались всюду и переводились на арабский язык, привлекали на службу византийцев.
В результате сложилась своеобразная система математических знаний. В нее влились и данные ранней византийской науки, то есть классические трактаты Евклида, Архимеда, Аполлония и других, но также получили свое развитие сведения из математики Индии, а также коренного населения стран Ближнего и Среднего Востока.
Освоение и переработка многочисленных источников, как и подготовка квалифицированных математиков потребовали, разумеется, немалого времени. Поэтому для арабской математики (как мы ее иногда называем, несмотря на необоснованность этого термина, так как ее развивали ученые разных национальностей) характерна пестрота в постановке задач, в методах их решения и даже в символике. Она получила так много оригинальных черт, что сделалась качественно отличной от своих источников.
Рассмотрим характерные особенности математики средневекового Востока и достигнутый уровень математических наук, без разделения математики по отдельным странам ввиду специфичности предмета и не разработанности темы.
Арабские цифры
В вычислительной практике арабов равноправно действовали обе системы счисления: десятичная абсолютная и шестидесятеричная. Первая была воспринята из Индии и быстро получила широкое распространение. Позже посредством арифметического трактата Хорезми (IX век) «Об индийских числах», переведенного в XII веке на латинский язык, десятичная система стала известной в Европе.
Параллельно с десятичной сохранялась и регулярно употреблялась в астрономических обсерваториях шестидесятеричная система счисления. В духе математиков Вавилона составлялись и использовались вспомогательные таблицы, вроде таблицы умножения (от 1х1 до 60х60). Даже в сравнительно позднее время (ок. 1427) в обсерватории Улугбека под городом Самаркандом были в употреблении обе системы, а для удобства вычислений были разработаны правила перевода из одной в другую. Регулярные правила существовали для вычислений с дробями, простыми и десятичными.