Цель fij, реализуемая системой sij, будет состоять из двух компонентов: цели fi, описывающей изменение параметров перерабатываемого ресурса в целенаправленной части sai системы sij и изменения Δijfi происходящего во взаимодействующей части seij при транспортировании или складировании предмета труда до момента поступления на вход aj :
fij = { fi, Δijfi }
Очевидно, что система sij имеет общую часть sai с каждой системой sik.
Теорема 4.4.7. Система sij разложима на cистемы: основную целенаправленную saij и дополнительную seij:
sij= saij ⋃ seij;
saij= < { ai0, bi0, δеij, δaij }, wj, wy, фi, фij >;
seij = < {δai, δвi, dij0, eij0 }, wj, wy, фi, фij >.
Справедливость (4.4.16) очевидна из предыдущего изложения.
Теорема 4.4.8. Модели полной, основной и дополнительной систем S, Sa, Sе представляют собой теоретико-множественные объединения элементарных систем sij, sаij, sеij:
S = < ⋃ sij, W, Φ >;
Sa = <⋃ sаij, W, Φ >;
Se = <⋃ sеij, W, Φ>.
• В результате теоретико-множественного объединения sij, sаij, sеij сформируются множества-носители систем S, Sa, Se и, кроме того, объединение множества операций и отношений W' и Φ', определенных на элементарных системах:
S = < { А, В, D, Е }, W', Φ', W0, Φ0 >,
Sa = < { A0, B0, Δd, Δe }, W', Φ', W0, Φ0 >,
Se = < {Δa, Δв, D0, E0 }, W', Φ', W0, Φ0 >.
Множества операций W0 и предикатов Φ0 формируются в процессе создания систем S, Sa, Se из элементарных систем: вводится отношение порядка ≤, определяется набор предикатов и соответствующие отношения на множестве-носителе, отвечающие выбранным предикатам и т.д. В результате формируются множества W и Φ систем S, Sа, Se: W=W' ⋃ W0, Φ = Φ' ⋃ Φ0 и модели S, Sа, Se приводятся к виду (4.4.1).
• Изоморфизм и декомпозиция моделей. Изоморфизмом системы S на системы Sа, Se и др. будет взаимнооднозначное отображение множества-носителя системы S на множества-носители систем Sа, Se и др., сохраняющее главные операции и предикаты модели (4.4.1).
Изоморфизм рассмотрим на графовых моделях систем, процессов, структур. Два графа G1 = G1(V1, H1) и G2= G2(V2, H2) считаются изоморфными, если существует взаимооднозначное отображение такое, что V1 взаимнооднозначно отображается на V2 и H1 взаимнооднозначно отображается на H2, т.е. каждой вершине из V1 соответствует одна и только одна вершина из V2 и наоборот, а каждому ребру из H1 соответствует одно и только одно ребро из H2 и наоборот, каждому ребру из Н2 соответствует одно и только одно ребро из Н1.
Графы процессов и структур определим следующим образом:
G (P) = G (B,D), G(Pa)=G(B0, ∆d), G(Pe)= G(∆в, D0),
G( C) = G (A, E), G(Ca) = G (A0, ∆e), G (Ce)=G(∆a, E0).
Сформулируем следующий результат.
Теорема 4.4.9. Графы G(Р), G(С), G(Pa), G(Pe), G(Ca), G(Ce) изоморфны.
Доказательство его следует из очевидного здесь факта: изоморфны между собой множества в каждой тройке множеств: В, В0, ∆в; A, Aо, ∆a; D, D0, ∆d; E, E0, ∆e.
Графы систем определим следующим образом, как прямые суммы:
G (S) = G (P) ⋃ G ( C);
G (Sa) = G(Pa) ⋃ G (Ca);
G(Se) = G(Pe) ⋃ G(Ce).
Теорема 4.4.10. Графы G(S), G(Sa), G(Se) изоморфны.
Эти графы изоморфны, так как в соответствии с предыдущим результатом изоморфны их части, не пересекающиеся по вершинам и ребрам.
Графы процесса и структуры также могут быть представлены в виде прямых сумм частей, не пересекающихся по вершинам и ребрам:
G (P) = G(Pa) ⋃ G (Pe); G(C) = G (Ca) ⋃ G(Ce).
В силу этого можно сформулировать
Теорема 4.4.11. Графы G (S), G(Sa), G(Se), G(P), G(C) изоморфны.
• Полученные результаты позволяют сформировать следующую процедуру декомпозиции при исследовании систем. Вполне очевидно, что переход от графа G (S) к графу G(Sa) или G(Se) означает переход от более сложных задач к более простым. В то же время модель любого системного объекта, в том числе Sa и Se, можно представить в виде модели полной системы и вновь разложить его на модели G(Sa), G(Se) и др. Новая декомпозиция будет означать дальнейшее упрощение задач исследования системы. В то же время при повторной декомпозиции модели, как и при первой., вновь будут определены отношения взаимосвязи между частями модели. Сохраняя отношения взаимосвязи на каждом этапе, можно перейти к системе с более простыми задачами исследования – к «простой» системе, задачи которой разрешимы для исследователя. Затем можно, используя отношения взаимосвязи, перейти к решению задач исходной системы, как к некоторой композиции задач «простых» систем. Возможно, что «простая» система – это система, в которой нецелесообразно выделение дополнительной системы.
При такой декомпозиции не нарушается структура и процесс исследуемой системы, производится как бы расслоение системы. Образно можно определить, что это расслоение модели системы, декомпозиция «по толщине», возможная для математических моделей любых систем, когда каждая вершина и ребро графовой модели могут «расслаиваться» на две части в соответствии с определениями (4.4.5) – (4.4.7). Описанный способ декомпозиции вполне применим и в сочетании с известными методами.
• Алгоритм применения математических моделей. Рассмотрим на следующих примерах. Итак, в общем случае математические модели системы, процесса, структуры, элемента, элементарной структуры, элементарного процесса состоят из двух частей: одна основная, предназначена для реализации целей создания системы (Sa, Pa, Ca и др.), другая служит для обеспечения процессов взаимодействия в системе (Se, Pe, Ce и др.).
Так, в технологической системе, создаваемой для реализации процессов отбелки хлопчатобумажных тканей, основными элементами а являются реакторы, в которых последовательно происходят процессы пропитки ткани различными растворами. Это процессы b — элементарные процессы достижения целей. Элементы взаимодействия е — это транспортирующие и складирующие элементы, обеспечивающие передачу обрабатываемой ткани от одного процесса пропитки к другому или её хранение до начала следующего процесса, т.е. элементы, обеспечивающие элементарные процессы взаимодействия d во времени и в пространстве.
В тоже время в процессе обработки ткани также необходимо её транспортирование от начала элементарного процесса достижения цели к концу: для этого в основных элементах а, кроме основных частей конструкции а0, обеспечивающих протекание элементарных процессов отбеливания b0, предусматриваются транспортирующие механизмы δа, обеспечивающие прием ткани от транспорта (склада) на входе процесса, ее перемещение внутри аппарата в соответствии с технологией отбеливания и передачу ткани, прошедшей процесс, на последующие транспортно-складские средства, т.е. обеспечивающие элементарные процессы «взаимодействия между взаимодействиями» δa.
В транспортно-складских элементах взаимодействия е, в свою очередь, в процессе обеспечения взаимодействия между элементарными процессами отбеливания ткани, происходит изменение белизны ткани δd, которое не должно превышать некоторого заданного значения, для этого в транспортно-складские элементы необходимо ввести соответствующие части конструкции δa.
В результате, технологический системный процесс достижения цели – заданной белизны ткани, сложится из элементарных процессов изменения белизны ткани b0 — целенаправленных процессов, происходящих в предназначенных для этого конструкциях а0 и процессов δd «вынужденного» изменения белизны ткани, которые происходят в транспортно-складских элементах (в них обеспечивается ограничение изменений белизны ткани введением соответствующих частей конструкции δе). В свою очередь, технологический системный процесс взаимодействия во времени и в пространстве – процесс складирования и транспортирования сложится из элементарных процессов транспортирования и складирования d0 и процессов δв.