этой линии равно бесконечности, потому что точка измерения не имеет. Если наш отрезок равен вершку, и рядом с ним мы представим себе отрезок в версту, то каждой точке в большом отрезке будет соответствовать точка в малом. Число точек в отрезке, равном вершку, бесконечно. Число точек в версте тоже бесконечно. Получается
∞ = ∞.
Представим теперь себе квадрат, сторону которого составляет данная линия а. Число линий в квадрате бесконечно. Число точке в каждой линии бесконечно. Следовательно, число точек в квадрате равно бесконечности, помноженной сама на себя бесконечное число раз: ∞^∞. Эта величина, несомненно, бесконечно больше первой ∞. И в то же время они равны, как равны все бесконечные величины, потому что, если есть бесконечность, то она одна и не может меняться.
На полученном квадрате а2 представим себе куб. Этот куб состоит из бесконечного числа квадратов, так же как квадрат состоит из бесконечного числа линий, а линия — из бесконечного числа точек. Следовательно, число точек в кубе а3 равно ∞^∞^∞; это выражение равно выражению ∞^∞ и ∞, то есть это значит, что бесконечность продолжает возрастать, в то же время оставаясь неизменной.
* * *
Таким образом в трансфинитных числах мы видим, что две величины, равные порознь третьей, могут быть не равны между собою. Вообще мы видим, что основные аксиомы нашей математики здесь не действуют, не применимы сюда. И мы с полным правом устанавливаем закон, что основные аксиомы математики, указанные выше, здесь не применимы, а применимы и действительны только для конечных чисел.
Кроме этого мы можем сказать, что основные аксиомы нашей математики действительны только для постоянных величин. Или, говоря иначе, они требуют единства времени и действующих лиц. Именно: всякая величина равна самой себе в данный момент. Но если мы возьмём величину, которая меняется, и возьмём её в разные моменты, то она не будет равна самой себе. Конечно, можно сказать, что, меняясь, она становится другой величиной, что она есть данная величина, только пока не изменится. Но это как раз и есть то, что я говорю.
Аксиомы нашей обычной математики применимы только к конечным и постоянным величинам.
И как раз обратно обычному взгляду, мы должны признать, что математика конечных и постоянных величин нереальна, т. е. имеет дело с нереальными отношениями нереальных величин, а математика бесконечных и текучих величин реальна, т. е. имеет дело с реальными отношениями реальных величин.
В самом деле, самая большая величина первой математики не имеет никакого измерения, равна нулю или точке в сравнении с любой величиной второй математики, все величины которой при всём их разнообразии равны между собой.
Таким образом и здесь, как в логике, аксиомы новой математики являются в виде абсурдов: «величина может быть неравна самой себе», «часть может быть равна целому или больше его», «из двух равных величин одна может быть бесконечно больше другой», «все разные величины равны между собой».
Между аксиомами математики и логики наблюдается полная аналогия. Логическая единица — понятие — обладает всеми свойствами конечной и постоянной величины. Основные аксиомы математики и логики в сущности одни и те же. И они правильны при одинаковых условиях и при одинаковых условиях перестают быть правильными.
Без всякого преувеличения мы можем сказать, что основные аксиомы логики и математики правильны только до тех пор, пока математика и логика оперируют с искусственными, условными, не существующими в природе единицами.
Дело в том, что в природе нет конечных, постоянных величин, точно так же как нет понятий. Конечная, постоянная величина и понятие — это условные отвлечения, не действительность, а только, так сказать, разрезы действительности.
Как связать идею об отсутствии постоянных величин с идеей неподвижной вселенной? На первый взгляд одно противоречит другому. Но в действительности этого противоречия нет. Неподвижна не эта [видимая], а большая вселенная, мир четырёх измерений, из которого мы знаем вечно движущийся разрез, называемый трёхмерной бесконечной сферой.
Мы раньше подробно разбирали, как идея движения вытекает из нашего чувства времени, то есть из несовершенства нашего чувства пространства.
Если бы наше чувство пространства было совершеннее, мы по отношению к любому данному предмету, скажем, к данному человеческому телу, охватывали бы всю его жизнь во времени, от рождения до смерти. Тогда в пределах нашего охвата оно было бы для нас постоянной величиной. Но теперь, в каждый данный момент своей жизни, оно есть для нас не постоянная, а переменная величина. И то, что мы называем телом, в действительности не существует. Это есть только разрез четырёхмерного тела, которого мы никогда не видим. Мы должны помнить, что весь наш трёхмерный мир в действительности не существует. Это есть создание наших несовершенных чувств. Результат их несовершенности. Это не есть [реальный] мир. А только то, что мы видим из [того] мира. Трёхмерный мир — это есть четырёхмерный мир, наблюдаемый через узкую щёлку наших чувств. Поэтому все величины, которые мы считаем таковыми в трёхмерном мире, не есть реальные величины, а только искусственно предположенные.
Они не существуют реально, так же как не существует реально настоящее. Это уже говорилось раньше. Настоящим мы называем переход из будущего в прошедшее. Но этот переход не имеет протяжения. Поэтому настоящее не существует. Существует только будущее и прошедшее.
Таким образом, постоянные величины в трёхмерном мире это абстракция. Точно так же, как движение в трёхмерном мире есть, в сущности, абстракция. В трёхмерном мире нет изменения, нет движения. Для того, чтобы мыслить движение, нам уже нужен четырёхмерный мир. Трёхмерный мир в действительности не существует, или существует один идеальный момент. В следующий идеальный момент существует уже другой трёхмерный мир. Поэтому величина А в следующий момент есть уже не А, а В, в следующий [момент] — С и т. д. до бесконечности. Она равна самой себе только один идеальный момент. Иначе говоря, внутри каждого идеального момента аксиомы математики верны; для сравнения двух идеальных моментов они только условны, как условна логика Бэкона в сравнении с логикой Аристотеля. Во времени, то есть по отношению к величинам с точки зрения идеального момента переменным, они неверны.
Идея постоянности и переменности вытекает из невозможности для нашего ограниченного разума постигнуть вещь не в разрезе. Если же мы постигнем вещь в четырёх измерениях — скажем, человеческое тело от рождения до смерти, то это будет целое и постоянное, разрез которого мы называем меняющимся во времени человеческим телом. Момент жизни, то есть тело, как мы его знаем в трёхмерном мире, это есть точка на бесконечной линии. Если бы мы