а падежи есть то, что входит в парадигму склонения.
Эта ошибка уже вполне «незамаскированно» выступает во «Второй интерпретации»: «Внутрь одной окрестности попадают формы, имеющие общую основу и образованные наиболее продуктивными флексиями и суффиксами, почти не знающими ограничений в своем употреблении». «Третья интерпретация» отличается от второй только тем, что в ней имеются в виду слова с общей лексической морфемой «без каких-либо ограничений на продуктивность окончаний и суффиксов» (стр. 70 – 72). Таким образом, понятие окрестности в применении к склонению вообще никак не определяется, а заодно никак не определяется и понятие падежа. Вместо этого дается обычное школьное утверждение, что падежи образуют собою склонение, а склонение состоит из падежей. В дальнейшем, правда, еще дается определение падежа по А.Н. Колмогорову; но оно излагается так, что обходится без всякого понятия окрестности.
Теперь посмотрим, что говорят о понятии окрестности не математические лингвисты, а сами математики.
3. Понятие окрестности в математике
Действительно, определение окрестности в математике начинается, приблизительно, с того, о чем говорят и математико-лингвисты. Окрестность можно понимать и на прямой, и на плоскости, и на поверхности, и в многомерном пространстве, и в теории функций и даже просто в теории числовых последовательностей. Сейчас для нас достаточно будет сказать только о самом простом, именно: об окрестности какой-нибудь точки на прямой.
Окрестностью данной точки на прямой, гласит основное утверждение математиков, является любой интервал этой прямой, в который входит данная точка. Вот этим единственным определением окрестности и оперируют математико-лингвисты. Однако, последние упускают из виду то обстоятельство, что наибольшую общность и с виду максимальную неопределенность математики допускают только потому, чтобы дать свой предмет в наиболее точном виде, лишенном всяких случайностей и потому содержащем в себе максимальную смысловую насыщенность, которая обычно тут же и развертывается в целую конкретную теорию, а иной раз до поры до времени так и оставляется в самом общем и, с первого взгляда, в неопределенном виде. Это самое происходит в математике с определением окрестности.
Сначала дается такое определение, которое ввиду своей общности кажется профанам либо самоочевидным, либо совсем ненужным. Ведь всякому ясно, что окрестность Москвы есть та земная поверхность, в пределах которой и находится Москва. Казалось бы, здесь и задуматься-то не над чем. Но удивительным образом математико-лингвисты только и взяли из математического учения об окрестности лишь этот первый самоочевидный и потому вполне бесполезный и никому ненужный тезис, забывая, что тезис этот в математике невозможно понимать только буквально и изолированно и что в нем зажата огромная математическая область, которая у математиков тут же и развертывается в целую теорию, а не остается в виде мертвого и неподвижного тезиса. Автор настоящего очерка должен просить у математиков извинения за толкование элементарнейшего предмета, который для них слишком уж ясен и прост, и вовсе не требует такого популярного размазывания. Однако, пишем мы сейчас не для математиков, но для лингвистов, которых хотим избавить от испуга перед математико-лингвистами и которым хотим разъяснить понятным и обывательским языком, что математика, действительно может принести огромную пользу лингвистике, а не оставаться непонятной абракадаброй.
Спросим себя: как это возможно, чтобы точка на прямой входила в какой-нибудь интервал этой прямой? Это возможно только потому, что в данном интервале есть и еще какая-нибудь, хотя бы одна, точка. Ведь, если этой другой точки нет, тогда наш интервал только и будет состоять из одной первично данной точки, т.е. вовсе не будет интервалом. Теперь зададим себе другой вопрос: как возможно, чтобы на каком-нибудь интервале прямой было две точки? Это возможно только потому, что эти две точки отличаются друг от друга, т.к. иначе было бы не две точки, а опять-таки только одна. Зададим также и третий вопрос: что нужно для того, чтобы две точки на прямой отличались между собою? Для этого необходимо, чтобы между данными двумя точками было какое-нибудь расстояние, т.е., чтобы между этими двумя точками можно было бы поместить еще и третью точку. Очевидно, что тот же самый вопрос нужно поставить и о трех точках, о четырех, о пяти точках и т.д. Другими словами, если имеется на данном интервале одна точка, то это возможно только потому, что на данном интервале возможна и целая бесконечность точек. Вот что значило невинное, и с первого взгляда, банальное утверждение, что окрестность точки – есть тот интервал прямой, в котором данная точка помещается. Уже маленькое напряжение мысли приводит здесь к понятию бесконечности точек, из которых состоит окрестность; а математико-лингвисты только и взяли исходный математический тезис о нахождении точки в интервале и тем самым превратили его в очевиднейшую и вполне бесплодную банальность.
Но попробуем еще минуту задуматься над положением точки в интервале – окрестности, как тут же вытекает и еще один очень важный вывод: как бы две точки на данном интервале ни были близки одна к другой, они могут быть еще ближе того. А это значит, что все точки данного интервала прямой мы рассматриваем, как переменные, как всегда подвижные, как всегда стремящиеся к другим точкам, которые являются для них пределом и которые они никогда достигнуть не могут. Какая-нибудь переменная точка бесконечно приближается к постоянной или последовательность положений данной точки имеет другую точку своим пределом, если с момента определенной близости переменной точки к постоянной, переменная всегда остается в окрестности постоянной точки. Следовательно, окрестностью данной точки на прямой является целая бесконечность точек этого интервала, как угодно к ней близких. Вот в этом-то и заключается все дело, в этой как угодно большой, взаимной близости точек. И подобного рода тезис в скрытой форме уже содержался в первоначальном тезисе, который, как мы уже сказали выше, никак нельзя брать в метафизической изоляции и тем самым превращать его в ненужную банальность.
Можно оказать и иначе. Если мы имеем какое-нибудь бесконечное множество, то предельной точкой этого бесконечного множества является такая точка, в окрестности которой содержится другая, хотя бы одна, отличная от нее точка, входящая в данное бесконечное множество. Таким образом, окрестность данной точки состоит из бесконечного числа бесконечно малых приращений данной величины, данной функции и вообще стремление каждой точки к своему пределу. Понятие окрестности обеспечивает для данной величины возможность бесконечно малых приращений, когда она стремится к своему пределу.
Мы не будем здесь давать определение предела. Оно очень просто, и для ознакомления с ним достаточно самого краткого руководства по математическому анализу. Его можно дать более точно и более подробно, его можно дать и в самой общей форме.