используемые кости были честными, а не если он играл "в доме профессионального шулера" (как он описал инцидент выше). В этом случае вероятности нужно было бы "сделать настолько больше или меньше, насколько это соответствует отклонению от истинного равенства".
Учет различных вероятностей при различных условиях - например, если игрок жульничает - впоследствии стал известен как условная вероятность. Условную вероятность можно представить как простое утверждение "если - то". Если вам известно, что X истинно, то какова вероятность того, что Y тоже истинно? Например, учитывая, что кубик честный, вероятность того, что при броске выпадет двойка, равна 1/6. В противном случае вероятность будет равна, скажем, 1/3, если вы играете с шулером, который изменил кубик так, чтобы он предпочитал двойки. Таким образом, вероятность события зависит от обстоятельств, которыми оно обусловлено.
Одной из тем, которая ставила математиков в тупик на протяжении столетий после Кардано, был вопрос об обратной вероятности. Стандартная вероятность может сказать, как разные кости создают разные шансы, но цель обратной вероятности заключалась в том, чтобы пойти другим путем - обратить рассуждения и найти причину, стоящую за следствиями.2 Например, если Кардано не знал, участвует ли он в игре с шулером или нет, он мог наблюдать за бросками кости, чтобы попытаться определить, была ли она предвзятой. Если выпадало слишком много двоек, он мог заподозрить неладное (хотя, надеюсь, держал бы свою пинаду при себе).
Французский математик Пьер-Симон Лаплас работал над проблемой обратной вероятности с перерывами на протяжении 40 лет своей карьеры. Кульминация наступила в 1812 году, когда была опубликована "Аналитическая теория вероятностей". Здесь Лаплас демонстрирует простое правило, которое впоследствии станет одним из самых важных и влиятельных открытий в математике
Правило гласит, что если вы хотите узнать вероятность того, что кубик взвешен, вам нужно объединить два разных понятия. Первое - это вероятность того, что броски, которые вы видели, могли быть сделаны взвешенным кубиком, а второе - вероятность того, что кубик вообще взвешен. Более технически это обычно выражается так: вероятность вашей гипотезы ("кубик взвешен") с учетом ваших доказательств (бросков, которые вы видели) пропорциональна вероятности ваших доказательств с учетом вашей гипотезы (вероятность того, что вы увидите эти броски, если кубик взвешен), умноженной на вероятность вашей гипотезы (насколько вероятно, что кубик взвешен изначально) (см. Рисунок 22).
Допустим, три раза подряд на кубике выпало "два", и вы хотите узнать, не хотят ли вас подвезти. Если кубик честный, то вероятность такой полосы равна 1/6 x 1/6 x 1/6 = 1/216. Это можно назвать вероятностью доказательства, если верить, что кубик честный. С другой стороны, кубик может быть взвешен так, чтобы бросать двойку, скажем, в одной трети случаев. Вероятность доказательства при гипотезе, что кубик взвешен таким образом, будет равна 1/3 x 1/3 x 1/3 = 1/27. Сравнивая эти числа, становится ясно, что вероятность выпадения трех двоек подряд на взвешенном кубике гораздо выше, чем на честном; похоже, вы играете с шулером.
Но этих цифр недостаточно. Чтобы сделать правильный вывод, согласно правилу, нам нужно объединить их с дополнительной информацией. В частности, нужно умножить эти числа на общую вероятность того, что кубик будет взвешен или нет.
Допустим, в этом случае ваш партнер по азартным играм - ваш самый близкий друг с многолетним стажем. Вы бы оценили вероятность того, что он использует взвешенный кубик, как 1 к 100. Умножив вероятность выпадения трех двоек при использовании взвешенного кубика на низкую вероятность того, что кубик взвешен, мы получим 1/27 x 1/100 = 1/2 700 или 0,00037. Проделав это для другой гипотезы - о том, что кубик невзвешенный, - мы получим 1/216 x 99/100 = 0,0045. Если второе число больше первого, то вы справедливо заключите, что ваш друг на самом деле не мошенник.
Этот пример демонстрирует силу предварительной оценки. Приор" - это название вероятности гипотезы, в данном случае вероятности того, что ваш друг подменил кубик. Если выполнить те же уравнения, но предположить, что вы играете с незнакомцем, который с такой же вероятностью может обмануть, как и нет (то есть вероятность обмана равна 0,5), результат будет другим: 0,019 против 0,0023 в пользу взвешенного кубика. Таким образом, сильная предварительная оценка может стать решающим фактором.
Другой термин - вероятность рулонов с учетом гипотезы - называется "вероятностью". Она показывает, насколько вероятно, что вы увидите то, что увидели, если ваша гипотезао мире окажется верной. Его роль в обратной вероятности отражает тот факт, что для определения причины любого следствия необходимо сначала узнать вероятные следствия каждой причины.
И вероятность, и предшествующее значение сами по себе неполны. Они представляют собой разные источники знаний: доказательства, которые вы имеете здесь и сейчас, и понимание, накопленное со временем. Когда они согласны, результат прост. В противном случае они оказывают свое влияние пропорционально своей уверенности. При отсутствии четких предварительных знаний вероятность доминирует над решением. Когда влияние предшественника сильно, он может заставить вас не верить собственным глазам. При наличии сильного предшествующего фактора в экстраординарные утверждения можно поверить только при наличии экстраординарных доказательств.
"Когда вы слышите стук копыт, думайте о лошадях, а не о зебрах" - этот совет часто дают студентам-медикам. Он призван напомнить им, что из двух заболеваний со схожими симптомами первым следует предположить более распространенное. Это также отличный пример правила обратной вероятности в действии. Независимо от того, находитесь ли вы в присутствии лошади или зебры, у вас одинаковые шансы услышать стук копыт; говоря техническим языком, вероятность в этих двух случаях одинакова. При таких неоднозначных данных решение принимается на основе предварительных знаний, и в данном случае предварительные знания говорят, что лошади встречаются чаще, а значит, это лучшее предположение.
Рисунок 22
За 200 лет, прошедших с момента публикации его работы, в газетах, учебниках и на классных досках уравнение для обратной вероятности, которое записал Лаплас, стало называться "правилом Байеса". Томас Байес был пресвитерианским священником в Англии XVIII века. Будучи также математиком-любителем, Байес проделал работу над проблемой обратной вероятности и смог решить ее конкретную версию. Но все его размышления и вычисления так и не привели его к той форме правила Байеса, которую мы знаем сегодня. Более того, сам Байес так и не опубликовал эту работу. Эссе, содержащее его мысли о "проблеме в учении о шансах", было в конце концов отправлено в Королевское общество его другом, другим священником по имени Ричард Прайс, в 1763 году, через два года после смерти Байеса. Прайс приложил