В результате упрощения совпали знаки для 1 и 60. В тот же самый период писцы пришли к тому, чтобы принять «гин», первоначально меру веса, эквивалентную одной шестой мины, как постоянную единицу для 1/60, как и на латыни унция начала означать также 1/12. Более того, на практике писцы избавили себя от опущения знака для «гин», одна единица и одиннадцать гин писались просто как .
С этой точки зрения ученые пошли дальше, чтобы изобразить условно чисто абстрактную систему, в которой единичный символ I обозначал число 60, положительное или отрицательное, то есть 1, 60, 3600… 1/60, 1/3600, в то время как совокупность десяти подобных знаков, то есть 10, 600, 1/6, обозначалась знаком <.
Таким образом, вавилонские арифметики обнаружили себя обладателями новации, основанной на том, что мы называем «вес разряда», ценность знака определялась исключительно его положением по отношению к другим знакам. И вся эта система применялась не только целым числом, но также дробью (целыми цифрами), почти теми же, что и наши десятичные дроби, — только при отсутствии знака для нуля и десятичной точки, представленных как элемент двусмысленности, что оказывалось не слишком значимым в реальной практике.
Так вавилонские храмовые ученые изобрели систему, заставившую их иметь дело со свойствами дробей, которые нельзя было представить с помощью пальцев или фишек, без утомительных подсчетов, ограниченных единицами измерения дробей или кратных частей, являвшихся их предтечами, которые их египетские коллеги все же оказывались вынужденными использовать. Подобные чисто технические улучшения в приспособлениях использовались для подсчетов, фактически делая человека хозяином над всей областью действительных чисел.
В этой связи они устраняли все трудности, которые испытывает начинающий учиться счету и сегодня, пусть читатель вспомнит свои затруднения в школе, собственные опыты с делением.
Как в свое время шумеры вывели таблицу умножения, так теперь их вавилонские преемники составили таблицы обратных величин (обратных дробей), выраженных как шестидесятеричное деление.
Конечно, вавилонскую систему нельзя признать совершенной. Им недоставало цифр, а вплоть до 1-го тысячелетия до н. э. и нуля. Они не обнаружили ничего, соответствующего нашей периодической дроби. Их основа, 60, делилась на огромное количество множителей, 2, 3, 4, 5, 6…, так что большинство дробей оказывалось возможным выразить как достаточно короткие шестидесятеричные доли. Все же в соответствующих таблицах значение 1/7, 1/11 и так далее — пустое. С помощью такого деления они становились регрессом обычного деления и использовали приблизительные значения как показатели.
Точно так же они не знали, как представить или иметь дело с иррациональными числами, такими как . В связи с проблемами, которые приводят к такому количественному анализу, они заменяли точные методы действия с помощью других привлеченных процессов, дающих приблизительно верный результат. «Правило знаков», похоже, находится вне их осмысления. «Отрицательный корень» квадратного уравнения просто игнорируется.
Более того, вавилоняне обнаружили опытным путем фактическую систему вычисления некоторого числа цифр, которые мы должны выразить алгебраической формулой. Так, им явно был знаком результат, который мы выражаем как (а + b)2 = а2 + 2ab + b2, и использовали этот результат, чтобы решать квадратные уравнения, «заполняя квадрат», во многом поступая точно так же, как и мы.
Подобные пропорции чисел, правила арифметической грамматики, как называл их Хогбен, казались писцам не открытием первичных «законов», но результатами и процессами, которые действительно должны были работать. Они никогда не выражали в полной мере «математические таблички» общими формулами. Все, что сохранилось, представляет собой «примеры», разработанные и фактически устроенные так, что они действовали с помощью доступных методик, так, например, значения для уравнения выбраны так, что ас + b2/4 является совершенной площадью.
Все же вавилоняне испытывали недостаток в том, что мы называем алгебраическим обозначением, используя буквы с неопределенными числовыми значениями вместо конкретных цифр. Решая «уравнения», они, следовательно, обращались к процедуре, схожей с той, что и «ложное положение», использовавшееся в средневековой арифметике.
Фрагментарные таблички доказывают, что школы экспериментировали с геометрическими фигурами, вписывая квадраты в круги и т. п. Трудно сказать, к каким заключениям подводят нас таблички. Однако к 1800 году до н. э. вавилоняне обнаружили, опять-таки предположительно с помощью фактических наблюдений и измерений, некоторые геометрические отношения в добавление к тем правилам для площадей и объемов, применение которых началось гораздо раньше.
Особенно хорошо они были осведомлены, что стороны прямоугольника соотносятся между собой в пропорциях 3 к 4 и 5 к 12, площадь диагонали равна сумме квадратов двух соседних сторон. Целый ряд примеров на табличке, хранящейся в Британском музее, выстраивается для подтверждения этой истины. Фактически образованные писцы знали, что в девятнадцати независимых случаях получался результат того, что сегодня называют «теоремой Пифагора».
Даже если они «знали» в целом эту теорему, они не могли применять ее в случаях, где диагональ не является рациональным целым числом, как происходит, например, в квадрате. В подобных случаях примеры на табличках выполняются по методикам, которые мы должны использовать, чтобы приблизительно получить правильный ответ.
Вавилонские писцы разработали систему математических символов и методик, побуждавших их решать с нужной точностью реальные проблемы в бухгалтерском учете, межевании, архитектуре и военной инженерии, с которыми приходилось встречаться в практической жизни общества.
Они выводили ряд примеров, чтобы проиллюстрировать решение точно таких же проблем. Проделывая это, вавилоняне приходили в замешательство перед некоторыми важными свойствами чисел и пространства. Ни одна из сохранившихся табличек не отражает заинтересованности в числах, таких или каких-либо иных концепций абстрактного пустого пространства! (Некоторые реальные примеры вавилонских математических текстов показаны в моей книге «Человек создает себя».)
В 3-м тысячелетии до н. э. египтяне, шумеры и индийцы Мохенджодаро и Хараппы достаточно хорошо представляли химию обжига, чтобы изготавливать фаянс, непрозрачную посуду, покрытую глазурью. Химическое открытие позволило сделать вывод, что щелочные силикаты плавятся так же легко, как и металлы, что подобные силикаты можно получить, нагревая глинистые массы с кварцем (то есть песком), поташом (представлявшим собой всего лишь продукт сгоревшего дерева) или углекислым натрием (встречавшимся в виде минерала в западной пустыне Египта).
Во время Нового царства египетские ремесленники выявили процесс, с помощью которого стали изготавливать прозрачное стекло, которое можно было плавить и изгибать подобно металлу, нагревая песок и углекислый натрий, изобретая методики для окрашивания продукта. Стекло изгибали в виде прутьев и палочек, которые нагревали докрасна и даже встраивали в сосуды в виде стержней. Стекло применялось в изготовлении продукции, имитировавшей драгоценные камни, фактически «синтетических камней», причудливых ваз. Затем такие изделия продавались по умеренной цене новому среднему классу. Искусство изготовления стекла и изделий из него вскоре переняли в Финикии, где вместо углекислого натрия стал использоваться поташ.
Если стеклянное производство разрабатывалось, чтобы удовлетворить запросы покупателя среднего класса, то простое алфавитное письмо, скорее всего, создавалось, чтобы продвигать бизнес мелких купцов. Как указывалось выше, финикийцы в основном торговали недорогими расхожими товарами.
Такая торговля требовала использования небольших розничных операций, и все их надо было фиксировать. Одновременно они приносили ремесленникам или, по крайней мере, купцам достаточную выгоду, чтобы те становились независимыми от «больших хозяйств», которые, конечно, имели своих профессиональных писцов. Поэтому купцам приходилось становиться собственными бухгалтерами. Вот в чем состояла подоплека финикийского письма.
Примечательна и филологическая подноготная. В семитских языках, таких как финикийский, слова выстраиваются из трехбуквенных корней (то есть основания выражаются тремя согласными), а перемены гласных обозначают только грамматические различия — времена и падежи. Отсюда происходит практическое смешение — там, где общий контекст очевидного знания в равной степени может быть выражен только согласными, гласные звуки проигнорированы.