К счастью, те выводы, которые мы собираемся получить на основе изучения моделей, не очень чувствительны к различным категориям используемых сигналов шума. Однако следует обратить внимание на некоторые общие положения и рекомендации.
Сигнал шума, представленный в виде ряда случайных чисел, как это изображено на рис. С-3, близок к полученному от источника белого шума при частотах, меньших частоты импульсов. Такой сигнал имеет одинаковую мощность шума при бесконечно малом приращении частоты, но не на октаву. Зрительно наиболее наглядной является форма кривой, описывающей величину мощности в расчете на октаву. Из рассмотрения рис. С-3 мы можем заметить, что мощность шума преобладает при частотах, равных половине частоты импульсов. Мы не видим или не ощущаем низкочастотных составляющих, так как они очень незначительны в единицах мощности на октаву.
Сигнал шума нельзя выбирать как произвольный ряд случайных чисел, поскольку эта процедура позволяет произвольно и полно определить всю спектральную плотность, а она может оказаться непригодной для наших целей. В качестве примера рассмотрим переменную, изменяющуюся по закону случайной функции, представляющую, например, фактор погоды в модели экономической системы или товарного рынка. Допустим далее, что оценку модели следует производить ежедневно. Мы могли бы затем выбирать ежедневно случайные числа, характеризующие количество выпавших осадков. Случайный характер этих данных мог бы потребоваться для воспроизведения суточных изменений возможных осадков. Но этого недостаточно. Случайные данные суточных выпадений осадков должны анализироваться с целью выявления недельных, месячных, годовых и более длительных изменений, поскольку выпадение осадков не является чисто случайным, время от времени происходящим явлением, а имеет определенные закономерности, если речь идет о достаточно продолжительных интервалах времени.
В главах 13–15 использовался простой метод управления мощностью шумов: шумы подавались в систему и поддерживались в течение более длительного интервала, чем интервал решения уравнений. В главе 13 (уравнение 13–79) шумы подавались в модель и поддерживались в течение одной недели; а решение уравнений производилось для каждых 0,05 недели. Допустим, что мы попытались воспроизвести случайные недельные изменения продаж в диапазоне 2 к 1 (но не таких больших размеров, как в главе 13) путем добавления групп случайных чисел, взятых по 20 в группе. Изменения, происходящие из часа в час и изо дня в день, могли бы оказаться нереально большими, иногда даже вызывающими аннулирование числа заказов, превышающего располагаемое, с тем чтобы сделать долговременные изменения достаточно большими.
Когда мы говорим о характере сигнала помех, то особенно важен вопрос частотной избирательности системы. На рис. 15-5 показан сигнал случайной функции, который подается и поддерживается в течение 5 недель. В данном примере самое большое содержание мощности в величинах мощности на октаву приходится на диапазон самых высоких частот, отображенных на рисунке. Это диапазон, составляющий 10 недель, то есть частота равна около 5 периодам в год. Однако эта высокочастотная мощность почти полностью поглощается выравниванием и запаздыванием в системе. Система в целом реагирует на гораздо меньшую энергию шума, отображающего период в два года (или половину цикла за год). Это тот диапазон частот, в котором система обладает усилительными свойствами и амплитуды на выходе превышают амплитуды сигнала шумов на входе.
Следует отметить, что выравнивание подавляет высокие частоты источника шумов, но пропускает низкие частоты. Эти низкие частоты являются составляющими шума, которые авто-коррелируют на протяжении длительных периодов времени.
При оценке переменных, несущих шумы, мы должны проявлять осторожность и различать низкочастотные возмущения, возникающие вне системы (собственно шумы), от внутренне присущих ей частот. По-видимому, невозможно определить путем наблюдения, в какой мере низкочастотные случайные колебания привносятся внешним возмущением, а какая их часть обусловлена вводом, усиленным внутри системы. Мы обычно будем полагаться на наши знания деталей структуры системы при определении чувствительности модели к различным частотам и после этого найдем (как это было сделано в главе 12) такой сигнал помех, который даст амплитуды, наблюдаемые в рассматриваемой системе. Только в тех случаях, когда требуемые сигналы шума оказываются нереально большими, объективные знания природы шумов в реальной системе могут оказаться полезными при определении эффективности модели.
Использование шумов в динамических моделях требует глубокого и детального изучения. В данном приложении отмечены только некоторые важные положения.
Приложение D
ЗАПАЗДЫВАНИЯ
Ниже рассматриваются два связанных с запаздываниями вопроса, которые не были освещены ранее.
D. 1. Сопоставление информационного и «материального» запаздываний
Необходимо различать запаздывания в потоках информации и запаздывания в потоках конкретных физических величин. В предыдущих разделах уравнения запаздываний были использованы для определения запаздываний при транспортировке материалов и заказов. Выравнивающие уравнения использовались для отображения запаздываний в потоках информации. Как отмечалось в приложении В, их динамическое поведение аналогично. Тем не менее имеется некоторое различие между ними: они, в частности, ведут себя различно в том случае, когда постоянная запаздывания перестает быть постоянной и начинает изменяться.
«Материальное» запаздывание не должно создавать или поглощать содержимое проходящего через него потока. Это означает, что в «материальном» запаздывании с постоянным темпом входящего потока исходящий поток будет изменяться при изменении постоянной времени запаздывания. Очевидно, что выход будет отличаться от входа в течение достаточно длительного времени, необходимого для создания внутреннего уровня в запаздывании, которое подвергается регулированию.
Следующие уравнения представляют экспоненциальное запаздывание первого порядка с переменной величиной запаздывания:
LEV.K=LEV.J + (DT)(IN.JK — OUT.JK),
D-1,
L,
D-2,
Rгде
LEV — уровень, накопленный в запаздывании (единицы);
DT — интервал решения уравнения (время);
IN — темп входящего потока (единицы/время);