,
где величины 5 представляют собой прогрессивно устаревающие значения переменной (например, продаж), которая усредняется. Индексы обозначают время в прошлом. В последующий интервал, когда время равно 0,
.
Эта величина равна сумме нового члена и ранее определенной средней величины А1, умноженной на соответствующий экспоненциальный коэффициент; следовательно,
.
Каждое новое значение средней может быть рассчитано на основе значения средней за предшествующий период и нового значения переменной, которая выравнивается. Ранним, предшествующим значением средней величины можно затем пренебречь, и в дальнейшем следует иметь дело только с одним числовым значением средней, а не с длинным рядом более ранних данных. Последняя форма аналогична использованной в уравнении 13-8, где мы установили, что интервал между решениями не обязательно должен быть таким же, как единица времени, использованная для определения постоянной времени усреднения Т. Суммарная коррекция прежней средней величины для каждого интервала решения будет равна вышеприведенной величине, умноженной на продолжительность интервала решения. Экспоненциальная средняя, обобщенная для любого интервала решения, принимает форму:
,
B-1,
Lгде
А — среднее значение величины S (те же единицы измерения, что и S);
DT— интервал решения (единицы времени);
Т — постоянная времени экспоненциального выравнивания (единицы времени);
S — переменная величина, которая подвергается выравниванию (в соответствующих единицах измерения).
Схематически экспоненциальное выравнивание показано на рис. B–1. В начале вычислений, в момент времени К, известно старое значение средней величины A.J. Выравниваемая величина обозначена S.JK. Разность (S.JK — A.J), входящая в уравнение В-1 и обозначенная х, будучи умноженной на 1/T, дает необходимую коррекцию для каждой целой единицы времени; умножая затем эту величину на DT, мы определим коррекцию на данном интервале решения у.
Рис. В-1. Экспоненциальное выравнивание.
Теперь мы остановимся на рассмотрении запаздываний в потоках информации, которые возникают в результате ее усреднения. Сопоставим уравнение В-1 с обычной парой уравнений, используемых для отображения экспоненциального запаздывания первого порядка.
Рис.
В-2. Экспоненциальное выравнивание первого порядка и запаздывание.
Допустим, что S в уравнении В-1 является вводом в запаздывание, выход из которого обозначен индексом W (см. рис. B–2). Уравнения экспоненциального запаздывания первого порядка могут быть представлены в следующем виде:
,
B-2,
L,
B-3,
Rгде
L — уровень в запаздывании (единицы S, умноженные на время);
S — входящий поток информации (в своих единицах измерения);
W — исходящий поток из запаздывания (те же единицы, что и S);
Т — постоянная времени экспоненциального выравнивания (единицы времени).
Уравнение В-3 может быть записано для более раннего периода:
.
Подставив это значение в уравнение В-2, получим
.
Если мы теперь предположим, что L.K = (T)(A.K), то после простых преобразований получим уравнение
,
которое идентично уравнению В-1. Следовательно, уравнение экспоненциального выравнивания и уравнение запаздывания первого порядка эквивалентны.
Экспоненциальное выравнивание первого порядка вызывает запаздывание в потоках информации той же величины и формы, что и экспоненциальное запаздывание первого порядка. Постоянная времени выравнивания эквивалентна постоянной запаздывания, которая рассматривалась в главе 8.
Запаздывание, создаваемое выравниванием, может быть представлено графически. На рис. В-3 представлено равномерное усреднение.
Рис. B-3. Запаздывание, обусловленное равномерным усреднением.
Действительные значения рассматриваемой переменной показаны равномерно увеличивающимися. В любой момент времени средняя величина равна значению действительной величины в середине периода усреднения; другими словами, средняя величина равна действительной с запаздыванием в 1/2 интервала усреднения.
Рис. В-4. Запаздывание, обусловленное экспоненциальным усреднением.
На рис. В-4 показано запаздывание при экспоненциальном выравнивании для случая равномерно возрастающей переменной. Как видно из графиков, запаздывание должно быть равным постоянной времени T; это можно легко доказать, рассмотрев подобные треугольники:
,
,
где у является изменением среднего значения величины, изображенной на рисунке, и равно правой части уравнения B–1, которое так же отражает изменение значения средней величины. Поэтому величина Т, отображающая на рисунке запаздывание в получении среднего значения по сравнению с действительным, обязательно должна быть равна по величине постоянной времени в уравнении B–1.
Постоянное запаздывание, обусловленное экспоненциальным выравниванием, как это показано на рис. В-4, имеет место только в случае линейно изменяющихся входных данных. При нелинейных потоках информации запаздывание, связанное с выравниванием, будет определяться более сложно. Можно показать, что для синусоидально изменяющихся входных данных запаздывание никогда не превышает четверти периода колебания на входе.
При выравнивании поток информации искажается как по амплитуде, так и во времени. Характер искажений зависит от величины изменений, которые вносятся во входную информацию, от используемого типа выравнивания и объема выравнивания, который определяется видом и степенью нежелательных возмущений, существующих в информации. Почти все потоки информации выравниваются либо посредством формальных математических приемов, либо под воздействием психологических суждений, либо с использованием того и другого методов выравнивания, прежде чем они лягут в основу принимаемых решений. Запаздывания и усиления, обусловленные процессом выравнивания, как мы видели в части III, существенно влияют на динамическое поведение системы.