Читать интересную книгу 4. Кинетика. Теплота. Звук - Ричард Фейнман

Теперь мы положим dWs/dt=3gkT. Но почему здесь стоит 3? Потому что в гл. 32 мы предполагали, что свет поляризован так, что может раскачивать осциллятор. Если бы мы исполь­зовали осциллятор, способный раскачиваться только в одном направлении, а свет был бы, скажем, поляризован неверно, то он не рассеивался бы совсем. Поэтому мы должны либо усреднить эффективное сечение рассеяния на осцилляторе, способном раскачиваться только в одном направлении, по всем направле­ниям падающих пучков и поляризации света в пучке, либо, что легче сделать, представить себе, что наш осциллятор пос­лушно следует за полем, каким бы оно ни было там, где он на­ходится. Такой осциллятор, который одинаково легко раска­чивается в любом из трех направлений, имеет среднюю энергию 3kT, потому что у него 3 степени свободы. А раз 3 степени сво­боды, то надо писать 3gkT.

Займемся теперь интегралом. Предположим, что неизвест­ное спектральное распределение света I(w) — это плавная кри­вая, которая в той узкой области частот, где ss имеет острый максимум, меняется не слишком сильно (фиг. 41.3).

Фиг. 41.3. Сомножители подын­тегрального выражения (41.10).

Пик — это резонансная кривая 1/[(w-w0)2+(g2/4)]. Множитель I(w) можно с хорошим приближением за­менить на I(w0).

Тогда сколь­ко-нибудь существенный вклад в интеграл дают только частоты, близкие к w0 и отстоящие от нее на очень малую величину g. Поэтому, хотя I(w) неизвестная и, может быть, сложная функ­ция, важно только ее поведение около w=w0 и можно заменить плавную кривую еще более ровной — «постоянной» — всюду одной высоты. Иначе говоря, мы просто вынесем I(w) из-под знака интеграла и назовем это I(w0). Вынесем за интеграл и остальные постоянные и тогда получим

Интеграл берется от 0 до Ґ, но 0 отстоит так далеко от w0, что кривая за это время идет почти вдоль оси абсцисс, поэтому заменим 0 на -Ґ, разница небольшая, а интеграл взять легче.

Интеграл вида ∫dx/(x2+а2) приводит к арктангенсу. Если

взглянуть в справочник, то мы увидим, что он равен я/а. Итак, для нашего случая это 2p/g. После небольших манипуляций мы получаем

Затем мы подставим сюда формулу (41.6) для у (мы уже не будем стараться писать w0; раз это верно для любой w0, то можно назвать ее просто w), и формула для I(w) примет вид

I(w)=w2kT/p2c2. (41.13)

Она и определяет распределение света в горячей печке. Это так называемое излучение абсолютно черного тела. Черного по­тому, что, если заглянуть в топку печки при абсолютном нуле, она будет черной.

Формула (41.13) задает распределение энергии излучения внутри ящика при температуре Т согласно классической тео­рии. Отметим сначала замечательную особенность этого выра­жения. Заряд осциллятора, масса осциллятора, все частные его свойства выпали из формулы; ведь если мы достигли рав­новесия с одним осциллятором, мы должны позаботиться о равновесии и с любым другим осциллятором другой массы, иначе будут неприятности. Таким образом, это важный способ проверки нашей теоремы о том, что равновесие зависит только от температуры, а не от того, что приводит к равновесию. Те­перь можно начертить кривую I(w) (фиг. 41.4).

Фиг. 41.4. Распределение интен­сивности излучения черного тела при двух температурах.

Сплошные кривые — согласно классиче­ской теории; пунктирные — настоящее распределение, 1— paдuo ; 2 — инфракрасное; 3 — видимое; 4 — ультрафио­летовое; 5 — рентгеновские лучи.

Она покажет нам, какова освещенность при разных частотах.

В выражение для интенсивности в ящике на единицу частоты входит, как видно, квадрат частоты; это значит, что если взять ящик при любой температуре, то в нем обнаружится бездна рентгеновских лучей!

Мы знаем, конечно, что это неверно. Когда мы открываем печку и заглядываем в нее, мы не портим глаз рентгеновскими лучами. Дальше — хуже, полная, энергия, ящика, полная ин­тенсивность, просуммированная по всем частотам, должна быть площадью под этой уходящей в бесконечность кривой. Итак, здесь что-то совсем неверно в самой основе.

Это значит, что классическая теория совершенно непригодна для правильного описания распределения излучения черного тела, так же как и для описания теплоемкостей газов. Физики ходили вокруг этого вывода, рассматривали его с различных точек зрения и не нашли выхода. Это предсказание классической физики. Уравнение (41.13) называется законом Рэлея, предска­зано оно классической физикой и до очевидности абсурдно.

§ 3. Равномерное распределение и квантовый осциллятор

Только что отмеченная трудность — это еще одна сторона проблемы непрерывности в классической физике, она началась с непорядка в теплоемкостях газов, а потом эта проблема сконцентрировалась на распределении света в черном теле. Конечно, пока теоретики обсуждали эти вещи, производились еще и измерения настоящих кривых. И было установлено, что правильная кривая выглядит так, как пунктирные кривые на фиг. 41.4. Никаких рентгеновских лучей там нет. Если пони­жать температуру, то кривые приближаются, к оси абсцисс примерно так, как того требует классическая теория, но и при низкой температуре опытные кривые тоже в конце обрываются.

Таким образом, начало кривой распределения правильно описывает опыт, а ее высокочастотный конец сбивается с вер­ного пути. Почему же так? Когда Джеймс Джинс размыш­лял о теплоемкостях газов, он заметил, что движение, совер­шаемое с большой частотой, «замерзает» при понижении тем­пературы. Значит осциллятор не может обладать средней энер­гией kT, если температура слишком мала или если частота колебаний слишком велика. А теперь вспомним, как мы выво­дили (41.13). Все зависело от энергии осциллятора при тепло­вом равновесии. Когда мы подставляли kT в (41.5), это было то же kT, что и в (41.13), т. е. средняя энергия гармонического осциллятора частоты w при температуре Т. Классическая фи­зика говорит, что она равна kT, а эксперимент отвечает: Нет! При очень низких температурах или при очень высоких час­тотах это не так. Таким образом, кривая падает по той же причине, что и теплоемкости газов. Кривую черного тела изу­чать легче, чем теплоемкости газов, где много сложностей, и мы сконцентрируем внимание на определении правиль­ной кривой излучения черного тела, потому что эта кривая будет той кривой, которая расскажет нам, как средняя энергия гармонического осциллятора при любой его частоте зависит от температуры.

За изучение этой кривой взялся Планк. Сначала он нашел чисто эмпирический ответ, сравнивая опытную кривую с из­вестными функциями, которые лучше всего эту кривую подгоняли. Таким образом, он получил эмпирическую формулу для средней энергии гармонического осциллятора как функцию температуры. Иначе говоря, он заменил kT правильной фор­мулой, а потом нашел простой вывод этой формулы, правда, при очень странном предположении. Это предположение со­стоит в том, что гармонический осциллятор может поглотить за один прием только энергию hw. После этого нельзя и подумать, что осциллятор может обладать любой энергией. Конечно, это было началом конца классической физики.

Сейчас мы выведем первую правильную формулу квантовой механики. Предположим, что дозволенные уровни энергии гармонического осциллятора лежат на равном расстоянии hw0 друг от друга, поэтому осциллятор может обладать только одной из этих энергий (фиг. 41.5).

Фиг. 41.5, Уровни энергии гар­монического осциллятора.

Отстоят друг от друга но равных рас­стояниям En=nhw.

Аргументы Планка выглядят немного сложнее наших, ведь это было самым началом кванто­вой механики, и ему приходилось кое-что доказывать. Ну, а мы просто примем как факт (который Планк и установил), что вероятность того, что занят уровень энергии Е, равна Р(Е)=aехр(-E/kT). Исходя из этого, мы получим правильный результат.

Предположим, что у нас есть много осцилляторов и каждый колеблется с частотой w0. Некоторые из них находятся в низ­шем квантовом состоянии, другие забрались на уровень выше и т. д. Нам нужно знать среднюю энергию этих осцилля­торов. Чтобы найти ее, давайте вычислим полную энергию всех осцилляторов и поделим результат на их число. Тогда мы получим среднюю энергию на осциллятор при тепловом равновесии, а это то же самое, что и энергия при равновесии с излучением черного тела, и ее надо подставить в уравнение. (41.13) вместо kT.