И, более того, здесь сам собой перед нами встает второй вопрос. Считалось, что теория струн налагает запрет на зондирование Вселенной на масштабах, меньших планковской длины. Но если радиус R больше планковской длины, то 1/R с необходимостью меньше нее. Так что же происходит на самом деле? Ответ, который также затрагивает первый из трех поставленных вопросов, выдвигает на первый план важные и нетривиальные свойства пространства и расстояния.
Два взаимосвязанных понятия расстояния в теории струн
В нашем понимании мира расстояние является настолько фундаментальным понятием, что очень легко недооценить всю его глубину и тонкость. Вспоминая поразительные изменения, которые претерпели понятия о времени и пространстве после открытия специальной и общей теории относительности, в свете новых результатов теории струн мы должны быть несколько более точными даже при определении расстояния. Наиболее осмысленными определениями в физике являются те, которые конструктивны, т.е. дают (по крайней мере, в принципе) способ для измерения того, что определяется. В конце концов, не важно, насколько абстрактным является понятие, — если в нашем распоряжении есть конструктивное определение, всегда можно свести смысл этого понятия к экспериментальной процедуре его измерения.
Как же дать конструктивное определение понятия расстояния? В рамках теории струн ответ на этот вопрос довольно неожиданный. В 1988 г. физики Роберт Бранденбергер и Кумрун Вафа из Гарвардского университета показали, что если пространственная форма измерения является циклической, в теории струн есть два различных, но связанных друг с другом конструктивных определения расстояния. Для каждого определения своя экспериментальная процедура измерения расстояния, и каждое определение, грубо говоря, основано на простом принципе измерения времени, за которое движущийся с постоянной фиксированной скоростью зонд проходит данный отрезок. Различие двух процедур состоит в выборе этого зонда. В первом случае используются струны, не намотанные вокруг циклического измерения, а во втором — струны, которые намотаны вокруг него. Свойство протяженности фундаментального зонда объясняет существование двух естественных конструктивных определений расстояния в теории струн. В теории точечных частиц, где намотка не имеет места, возможно лишь одно такое определение.
Чем отличаются результаты двух процедур? Ответ, который дали Бранденбергер и Вафа, столь же поразителен, сколь и нетривиален. Основную идею можно проиллюстрировать с помощью соотношения неопределенностей. Ненамотанные струны могут свободно двигаться в пространстве, и с их помощью можно измерить полную длину окружности, пропорциональную R. Согласно соотношению неопределенностей их энергии пропорциональны 1/R (вспомним отмеченную в главе 6 обратную пропорциональность энергии зонда расстояниям, которые он способен измерять). С другой стороны, мы видели, что минимальная энергия намотанных струн пропорциональна R. Поэтому, согласно соотношению неопределенностей, если такие струны используются в качестве зондов, то эти зонды чувствительны к расстояниям порядка 1/R. Из математической реализации этой идеи следует, что если для измерения радиуса циклического измерения пространства используются оба зонда, с помощью ненамотанных струн будет измерено значение R, а с помощью намотанных — значение 1/R, где, как и выше, все результаты измерений расстояний выражены в единицах планковской длины. Есть равные основания считать результат каждого из измерений радиусом окружности: теория струн демонстрирует, что для разных зондов, которые используются для измерения расстояния, мы можем получить разные ответы. На самом деле это справедливо для всех измерений длин и расстояний, а не только для определения размера циклического измерения. Результаты, полученные с помощью ненамотанных и намотанных струнных зондов, будут обратно пропорциональны друг другу.[104]
Так почему же, если теория струн действительно описывает нашу Вселенную, мы до сих пор не сталкивались с различными понятиями расстояния в повседневной жизни или научных исследованиях? Всякий раз, говоря о расстояниях, мы опираемся на опыт, в котором есть место лишь для одного понятия расстояния и ни намека на другое понятие. Где мы упустили альтернативную возможность? Ответ в том, что при всей симметрии нашего подхода, для значений R (а, следовательно, и значений 1/R), сильно отличающихся от единицы (что опять означает единицу, умноженную на планковскую длину), одно из конструктивных определений крайне сложно реализовать экспериментально, в то время как второе реализуется весьма просто. По существу, мы всегда выбираем самый простой подход, не подозревая, что существует другая возможность.
Значительное различие в сложности реализации двух подходов обусловлено значительным различием масс используемых зондов, т.е. различием между высокоэнергетической топологической и низкоэнергетической колебательной модой (и наоборот), если радиус R (и 1/R) сильно отличается от планковской длины (когда R = 1). При таких радиусах «высоким» энергиям соответствуют чрезвычайно большие массы зондов (в миллиарды миллиардов раз больше массы протона), а «низким» энергиям соответствуют исчезающе малые массы. Различие двух подходов при этом непреодолимо велико, так как даже создать столь тяжелые струнные конфигурации в настоящее время технически невозможно. На практике можно реализовать лишь один из двух подходов, а именно тот, в котором используется более легкая струнная конфигурация. До сего момента именно на него неявно опирались все предыдущие рассуждения, связанные с понятием расстояния; именно он питает нашу интуицию, и, следовательно, хорошо с ней согласуется.
Игнорируя практическую сторону вопроса, можно сказать, что в описываемой теорией струн Вселенной каждый вправе выбирать любой из двух подходов. Когда астрономы измеряют «размер Вселенной», они регистрируют фотоны, которые, путешествуя по Вселенной, волей случая попадают в их телескопы. Эти фотоны являются легкими струнными модами, и результат равен 1061 планковских длин. Если три известных нам пространственные измерения действительно циклические, а теория струн верна, то астрономы, использующие совершенно другое (в данный момент не существующее) оборудование, в принципе могли бы обмерять небеса тяжелыми модами намотанных струн. Они получили бы ответ, обратный этому огромному расстоянию. Именно в таком смысле можно считать, что Вселенная либо громадна (как мы обычно и считаем), либо крайне мала. Согласно информации, которую дают легкие моды струны, Вселенная громадна и расширяется, а согласно информации тяжелых мод — крайне мала и сжимается. В этом нет противоречия: просто используются два различных, но одинаково осмысленных определения расстояния. Из-за технических ограничений для нас гораздо привычнее первое определение, но и второе определение столь же законно.
Сейчас можно ответить на вопрос о двухметровых людях в крошечной вселенной. Когда мы измеряем человеческий рост, мы пользуемся легкими модами струны. Чтобы сравнить этот рост с размером Вселенной, для измерения размера Вселенной нужно использовать ту же процедуру, что даст 15 миллиардов световых лет — значительно больше, чем два метра. Спрашивать же, как двухметровый человек поместится в «крошечную» вселенную, так же бессмысленно, как сравнивать божий дар с яичницей. Если есть два понятия расстояния — на основе легких и на основе тяжелых мод, — то нужно сравнивать результаты измерений, сделанных одним и тем же способом.
Минимальный размер
Предыдущее обсуждение было лишь разминкой; теперь мы перейдем к главному. Если все время измерять расстояния «простым способом», т.е. использовать самые легкие моды струны вместо самых тяжелых, полученные результаты всегда будут больше планковской длины. Чтобы это понять, посмотрим, что будет происходить при гипотетическом Большом сжатии всех трех пространственных измерений в предположении, что они являются циклическими. Для определенности примем, что в начале мысленного эксперимента легкими являются моды ненамотанных струн и измерения с их помощью показывают, что радиус Вселенной огромен, а Вселенная сжимается. По мере сжатия эти моды будут становиться тяжелее, а топологические моды легче. Когда радиус уменьшится до планковской длины, т.е. R станет равным 1, массы топологических и колебательных мод станут сравнимы. Два подхода к измерению расстояния окажутся одинаково сложными для осуществления, и, кроме того, оба они приведут к одинаковому результату, так как единица обратна самой себе.