Теперь представьте, что у вас есть по глазу на каждой стороне вашего тела. В отличие от глаз человека, которые могут вращаться в глазницах, чтобы иметь обзор в трех измерениях, ваши глаза, глаза линляндца, навсегда зафиксированы в одном положении, каждый из них направлен вдоль единственного измерения. Это не является анатомическим ограничением вашего нового тела. Нет, вы и все другие линляндцы понимаете, что поскольку в Линляндии только одно измерение, здесь просто нет другого направления, в котором могли бы смотреть ваши глаза. Вперед и назад — вот и все направления, которые существуют в Линляндии.
Мы можем попытаться дальше развивать наши представления о воображаемой жизни в Линляндии, но быстро осознаем, что она не слишком богата. Например, если по соседству с вами есть другой линляндец, представьте себе, как он будет выглядеть: вы увидите один его глаз, тот, который обращен к вам, но в отличие от глаза человека он будет выглядеть просто точкой. Глаза в Линляндии не имеют никаких индивидуальных особенностей и не выражают эмоций — для всего этого здесь просто нет места. Более того, вы навеки обречены видеть этот точечный глаз вашего соседа. Если вы захотите обойти его и исследовать ту часть Линляндии, которая лежит по другую сторону от его тела, вы будете очень разочарованы. Вы не сможете обойти его. Он полностью «загораживает дорогу», и в Линляндии нет места, чтобы обойти его. Последовательность расселения линляндцев после того, как они разместились по Линляндии, фиксирована и не может измениться. Такая вот тоска.
Несколько тысяч лет после пришествия бога в Линляндию, линляндец по имени Калуца К. Лин вселил некоторую надежду в сердца подавленных обитателей Линляндии. По божественному вдохновению или в полной тоске от многолетнего созерцания точечного глаза своего соседа он предположил, что Линляндия, в конце концов, может быть вовсе и не одномерной. Что, если, — теоретизировал он, — Линляндия на самом деле является двумерной, со вторым очень маленьким циклическим измерением, которое до сих пор не было открыто из-за его крошечного пространственного размера? Он продолжал рисовать картину совершенно новой жизни, которая начнется, если только удастся увеличить в размере это свернутое измерение — возможность, которую нельзя было отрицать согласно недавним работам его коллеги Линштейна. Калуца К. Лин описал вселенную, которая поразила вас и ваших сотоварищей и наполнила ваши сердца надеждой — вселенную, в которой линляндцы могут свободно обходить один другого, используя второе измерение: они перестанут быть рабами пространства. Вы поняли, что Калуца К.Лин описывает жизнь в «утолщенной» вселенной Садового шланга.
В действительности, если циклическое измерение разрастется, «раздув» Линляндию до вселенной Садового шланга, ваша жизнь изменится очень сильно. Возьмем, например, ваше тело. Поскольку вы линляндец, все, что находится между вашими глазами, составляет ваше тело. Следовательно, ваши глаза играют такую же роль для вашего линейного тела, как кожа для обычного человеческого тела: они образуют барьер между вашим телом и окружающим его миром. Врач в Линляндии может получить доступ к внутренностям вашего линейного тела только проколов их поверхность, — другими словами, «хирургическое вмешательство» в Линляндии осуществляется через глаза.
А теперь представим, что произойдет, если Линляндия действительно имеет секретное, скрытое измерение типа предложенного Калуцей К. Лином, и это измерение развернется до размера, поддающегося непосредственному наблюдению. Теперь другой линляндец может видеть ваше тело под углом и, следовательно, непосредственно сможет увидеть его внутренность, как показано на рис. 8.5.
Рис. 8.5. Когда Линляндия расширится до размеров вселенной Садового шланга, один линляндец сможет заглянуть внутрь тела другого.
Используя это второе измерение, врачи смогут оперировать ваше тело, получая доступ непосредственно к вашим открытым внутренностям. Чудеса! Со временем, несомненно, у линляндцев разовьется покров, подобный кожному, защищающий вновь открывшиеся внутренности их тел от контакта с внешним миром. Более того, они несомненно эволюционируют в существ, имеющих не только длину, но и ширину: они станут плоскими существами, скользящими по двумерной вселенной Садового шланга, как показано на рис. 8.6.
Рис. 8.6. Плоские двумерные существа, живущие во вселенной Садового шланга.
Если циклическое измерение станет очень большим, эта двумерная вселенная начнет очень походить на Флатляндию Эббота — воображаемый двумерный мир, который Эббот наделил богатой культурой и даже кастовой системой, основанной на геометрической форме тел обитателей. Если в Линляндии трудно представить себе что-либо интересное — там просто нет места для этого, — то жизнь на Садовом шланге переполнена возможностями. Эволюция от одного к двум наблюдаемым протяженным пространственным измерениям очень радикальна.
А теперь как рефрен: почему на этом надо остановиться? Двумерная вселенная сама может иметь свернутое измерение и, следовательно, втайне от нас быть трехмерной. Мы можем проиллюстрировать это рис. 8.4, представив, что существует только два протяженных пространственных измерения (хотя при первом описании этого рисунка мы считали, что плоская сетка представляет три протяженных измерения). Если циклическое измерение развернется, двумерные существа увидят, что они оказались в совершенно ином мире, в котором движения не ограничены направлениями влево-вправо и вперед-назад. Теперь эти существа могут двигаться и в третьем измерении — в направлении «вверх-вниз» вдоль круга. На самом деле, если третье измерение станет достаточно большим, это будет наша трехмерная Вселенная. В настоящее время мы не знаем, простираются ли наши пространственные измерения до бесконечности, или они замыкаются на гигантскую окружность, недоступную в самые мощные телескопы. Если циклическое измерение на рис. 8.4 станет достаточно большим — миллиарды световых лет в поперечнике — этот рисунок вполне может быть изображением нашего мира.
И снова рефрен: почему на этом надо остановиться? Это приведет нас к представлениям Калуцы и Клейна: наша трехмерная Вселенная может иметь свернутое, четвертое пространственное измерение, о котором никто не подозревал. Если эта поразительная возможность или ее обобщение на случай многих свернутых измерений (мы вскоре рассмотрим его) истинны, и если эти свернутые измерения раскроются до макроскопического размера, то, как показывают приведенные выше примеры с меньшим числом измерений, жизнь в том виде, в котором мы ее знаем, изменится очень сильно.
Удивительно, однако, что даже если дополнительные измерения всегда будут оставаться в свернутом состоянии и будут малы, сам факт их существования ведет к глубоким последствиям.
Объединение в высших измерениях
Хотя высказанное Калуцей в 1919 г. предположение о том, что наша Вселенная может иметь недоступные нам непосредственно пространственные измерения, замечательно само по себе, его популярность связана с иными обстоятельствами. Эйнштейн сформулировал общую теорию относительности для привычного случая Вселенной с тремя пространственными и одним временным измерением. Однако математический формализм его теории можно непосредственно обобщить и выписать аналогичные уравнения для Вселенной с дополнительными пространственными измерениями. Калуца выполнил математический анализ и в явном виде выписал новые уравнения при «умеренном» предположении об одном дополнительном пространственном измерении.
Он обнаружил, что в этой пересмотренной формулировке уравнения, относящиеся к трем обычным измерениям, по существу совпадают с уравнениями Эйнштейна. Но благодаря тому, что он включил дополнительное пространственное измерение, Калуца, как и следовало ожидать, получил новые уравнения в дополнение к тем, которые первоначально вывел Эйнштейн. Изучив эти дополнительные уравнения, связанные с новым измерением, Калуца обнаружил нечто удивительное. Оказалось, что дополнительные уравнения представляют собой не что иное, как полученные Максвеллом в 1860-х гг. уравнения, описывающие электромагнитное взаимодействие! Добавив еще одно пространственное измерение, Калуца объединил теорию гравитации Эйнштейна с максвелловской теорией электромагнитного поля.
До появления гипотезы Калуцы гравитация и электромагнетизм рассматривались как два отдельных вида взаимодействия; ничто не указывало на то, что между ними может существовать какая-либо связь. Однако, дерзнув предположить, что наша Вселенная имеет дополнительное пространственное измерение, Калуца обнаружил, что в действительности они глубоко связаны. Его теория утверждает, что и гравитация, и магнетизм связаны с волнами в структуре пространства. Гравитация переносится волнами, распространяющимися в нашем обычном трехмерном пространстве, тогда как электромагнетизм переносится волнами, использующими новое, свернутое измерение.