и 1/21 каждой сажени, то получим полное равенство:
Получив такой надежный результат наших вычислений, мы можем задаться целью восстановить общий облик всего мерила в его первоначальном виде (рис. 30). Уже из того факта, что великая сажень представлена здесь судя по 1/21 только полусаженью, а прямая и мерная — целыми саженями, мы должны сделать вывод, что мерило равнялось наиболее крупной из участвующих здесь мерной сажени в 176,4 см, т. е. наиболее крупному отрезку мерила (М = 8,4 см), взятому 21 раз. Путеводной нитью для нас служит взаимное положение зарубок на всех трех шкалах сохранившегося обломка мерила. Следует отметить, что, судя по зарубкам, сделанным то в верхней, то в нижней стороне граней мерила, отсчет делений велся с разных концов жезла. Вычертив в натуральную величину развертку трех граней мерного жезла длиной в 176,4 см, нанеся на нее все 21 деление для каждой шкалы и перенеся на кальку развертку найденного обломка, мы путем совмещения можем найти ту единственную позицию, при которой деления всех трех шкал реального обломка совпадут с делениями теоретического мерного жезла, тоже разделенного на три шкалы. Как видно из чертежа, обломок представлял собою среднюю часть мерного жезла. Отсчеты делений прямой сажени и великой полусажени велись с разных концов жезла, очевидно, для того, чтобы предотвратить путаницу при пользовании мерилом.
Рис. 30. Реконструкция мерила в его полном виде (176,4 см).
У прямой сажени сохранились отрезки: 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16; у великой: 14, 15, 16, 17. У мерной сажени мы не знаем начальной точки отсчета (так как она вся должна была быть равномерно покрыта зарубинами), и поэтому сохранившиеся зарубки могут быть 9-14 или 7-12.
Таким образом, мы можем теперь представить себе новгородское мерило: это был длинный четырехгранный деревянный брусок, равный размаху рук человека («маховая», или мерная, сажень). На трех его гранях были нанесены сажени мерная, прямая и половина великой сажени, разделенные каждая на 21 часть, а каждая такая часть, в свою очередь, делилась на 10 ногтей. Локти и пяди настолько были излишни для владельца мерила, что одна грань бруска осталась просто пустой без всяких зарубок и отметин, хотя отметки всех трех видов локтей должны были бы иметься на нашем обломке.
Каков же смысл неожиданного и загадочного деления трех важнейших саженей на 21 отрезок?
Может показаться, что деление на 21 связано со стремлением получить пропорции золотого сечения по известному «ряду Фибоначчи»: 1. 2. 3. 5. 8. 13. 21… В 21-м делении каждой сажени содержатся семь звеньев этого ряда. Сочинение Леонарда Пизанского (Фибоначчи) появилось в 1220 г., так что с большой натяжкой можно допустить знакомство новгородцев первой трети XIII в. не только с самим трактатом, но и с его принципом. Кроме того, здесь возникают два возражения. Во-первых, пропорции золотого сечения даются не точно, а во-вторых, этим целям прекрасно служила сама система русских саженей. Если бы для получения пропорций золотого сечения русский зодчий хотел применить принцип Фибоначчи, то ему незачем было делить сажени на особые, неупотребительные единицы, а достаточно было брать размеры по 5, 8, 13, 21 обычных локтей или их фракций.
Думаю, что разгадка сущности новгородского мерила лежит в другом.
Обратим внимание на то, что если 21 деление (любое) принять за диаметр круга, то длина окружности будет равняться 66 таким же делениям: 66/21 = 3,14 = π. Со времен Архимеда π определялось как 3 1/7, что соответствует нашей дроби 66/21 (рис. 31).
Рис. 31. Круг диаметром в мерную сажень (176,4 см). Отношение длины окружности = 66/21 ≈ π.
Степень точности была совершенно достаточна для практических целей архитектора (и не только средневекового).
Возьмем в качестве примера центральную апсиду уже известной нам новгородской церкви Пятницы, внутренний поперечник которой равен двум мерным саженям. Длина полуокружности с радиусом в 176,4 (одна мерная сажень) = 3,141592… × 176,4 = 5 м 54 см 1,768288 мм. Если же мы вместо π с 6 десятичными знаками поставим 66/21 (3,1428571…), то получим величину в 5 м 54 см 4,010924 мм. Погрешность во втором случае практически неощутима: 2,24 мм (!) на всю пятиметровую апсиду.
Мерило, подразделенное на 21 часть, давало возможность древнерусскому зодчему переводить окружность и отрезки окружности, дуги в линейные меры. Наличие трех шкал на мериле позволяло переводить в линейные меры дуги с радиусом в мерную или в прямую сажени или в великую полусажень.
Из всех вариантов архимедовой дроби для π (22/7; 44/14; 66/21; 88/28; 110/35) вариант 66/21 был практически наиболее удобным, так как числитель делился не только на 2, но и на 3 и на 6, что было важно для зодчих, а остальные варианты не делились на 3.
Деление круга на 66 частей, а по существу на 660, так как каждая 1/21 была разделена на 10 «ногтей», заменяло принятое в других странах деление круга на 360 делений[173]. Деление круга на 660 частей заменяло русским зодчим деление на градусы и минуты и вполне удовлетворяло всем практическим требованиям.
Круг, разделенный на 660 частей с диаметром, равным сажени, разделенной на 210 точно таких же частей, позволял зодчему переводить все полуокружности и дуги в своем проекте на язык мастеров-исполнителей, как мы теперь сказали бы на язык рабочих чертежей, при изготовлении многочисленных кружал для арок, закомар, окон и порталов. Для всего интерьера церкви Пятницы, для ее трех притворов и трех фасадов, апсиды и барабана с куполом нужно было изготовить свыше сотни деревянных кружал разного профиля.
Процесс изготовления полуциркульных и лекальных кружал, требовавший очень большой точности, начинался, по всей вероятности, с чертежа в натуральную величину на плотно утрамбованной земле типа тока. Там, где применялись правильные полуциркульные арки в 180°, дело было просто и зодчий мог ограничиться только указанием радиуса. Однако в Пятницкой церкви не все арки были строго полуциркульны. В центральном и северном нефе есть ряд арок с усеченным закруглением, где дуга арки опирается не на диаметр круга, а на хорду и размер дуги — не 180°, а всего лишь около 140°.
Каким образом зодчий мог передать плотникам, делавшим кружала, размер дуги будущей арки, если система градусного измерения углов не была тогда известна на Руси? Вот здесь-то и приходит на помощь наше линейно-круговое мерило. Пользуясь им, зодчий мог сказать плотникам, что в начерченном на земле полукруге следует убавить по 5 больших