ik, i?k+1, i?k+2, ..., i?k+a-2, ik+a-1 (5)
задаваемых (a-2)! перестановками чисел i?k+1, i?k+2, ..., i?k+a-2.
Следует учесть также, что одна из этих последовательностей, а именно i1, i2, i3, ..., ik+a-1 находится в левой части этих неравенств.
Пары icic+N можно разделить на следующие виды по признаку, содержат они или нет «неподвижные» вершины ik и ik+a-1:
а) icic+N при c ? k; c + n < k+a-1; n >1, n ? a-2; это пары элементов в (5), не содержащие элементов ik, ik+a-1 и тех элементов (i1, i2, i?2, i3, i?3, i4 и т.д.), которые входят в гамильтонов цикл (1a).
Каждая из пар этого вида появится в системе неравенств (4) для определенного значения ik=i1,i2, ..., in, точно (a-3)(a-4)! раз – по числу (a-4)! перестановок (a-4) элементов, т.е. элементов последовательности (5) за вычетом элементов ik, ik+a-1, ic, ic+N для каждого из (a-3) возможных положений пары ic, ic+N в последовательности (5).
б) ic, ic+N при n>1, c=k и ic+Nic+a-1 при n < а-2, c=k это пары элементов в (5), содержащие элементы ik или ik+a-1 и элементы гамильтонова цикла (1a).
Каждая из этих пар появится в системе неравенств (4) для определенного значения ik=i1,i2, ..., in, точно (a-3)! раз по числу возможных перестановок (a-3) элементов, т.к. элементы ik, ik+N, ik+a-1 для этих пар «неподвижны».
Кроме этого, в совокупностях пар обоих видов надо выделить пары ic, ic+1, т.е. пары элементов гамильтонова цикла (1а). Тогда можно считать, что каждая из этих пар появится в системе неравенств (4) для определенного значения ik=i1,i2, ..., in точно ((a-3)!-1) раз по числу появлений пар вида а) или б) и за вычетом появлений одной пары, находящейся в левой части неравенства (4).
Аналогично и для любой пары вида iс+N iс число появлений в системе неравенств (4) для определенного значения ik равно (a-3)!. Здесь надо учесть то обстоятельство, что ik и ik+a-1 «неподвижны», т.е. они не могут участвовать в парах вида iс+N iс .
Таким образом, каждая пара элементов вида iсiс+N, не образующая ребро, инцидентное гамильтонову циклу, а также каждая пара вида iс+N iс появятся в правой части системы неравенств, записанных для определенного значения ik, точно (a-3)! раз, а ребра, инцидентные гaмильтонову циклу, точно ((a-3)!-1) раз.
Задавая последовательно значения ik от i1 до in, мы получаем каждый раз новые системы неравенств. При этом относительно любого ребра ic, ic+N участок ik, ik+1, ..., ik+a-1 «передвигается», вследствие чего любые пары ic+N ic или ic, ic+N участвуют в a-N(k+a-1-n-k+1=a-N) системах неравенств (4). То обстоятельство, что пары вида (ic+N, ic) с участием элементов ik и ik+a-1 в каждой системе неравенств невозможны, приводит к уменьшению числа появлений каждого такого вида пар ic+N ic в системе (4) для данного N на две.
Ребра ic ic+1 участвуют, таким образом, в (a-1) системах неравенств, если, конечно, (a-3)!-1 ? [1] или a ? 5, т.е., если они по условию вообще появляются в правой части системы неравенств для любого ik.
Отсюда очевидно, что любое ребро ? (ikik+N ), N ? 1, графа будет повторяться в правых частях n систем неравенств (4) (a – N) раз для ik= i1, i2, ..., in .
Следовательно, правая часть системы (4) примет вид:
Итак, условие a-оптимальности примет вид:
для a ? 5.
После простых преобразований получаем
для a ? 5.
Отсюда получаем условие n-оптимальности (a=n)
И, далее, условие (n +1)-оптимальности (a=n+1), т.е. условие оптимальности собственно гамильтонова цикла, принимает вид
Можно усилить условие (7), введя вместо проверки суммарного неравенства проверку по всем k. Получим условия а-оптимальности гaмильтонова цикла в виде:
a ? 5; k = 1, 2, ..., n.
Выше было показано, что a1-оптимальный гамильтонов цикл a2-оптимален, если a1 > a2.
Поэтому условие оптимальности гамильтонова цикла можно преобразовать к виду (a = n + 1):
? «Принцип обогащения» применительно к решению задачи о коммивояжере (ЗОК) заключается в следующем: с помощью некоторого условия проверить все ветви графа на наличие полезных свойств (в данном случае это «способность» участвовать в оптимальном гамильтоновом цикле) и для дальнейшего решения задачи оставить только эти «полезные» ветви. В случае, когда используемое условие достаточно сильно, после этой проверки останутся только ветви оптимального гамильтонова цикла. В другом случае из рассмотрения будет исключена часть ветвей графа, что дает возможность сократить время поиска решения с применением какого-либо алгоритма.
Таким образом, весь процесс решения задачи делится на 2 стадии: первая – «обогащение» исходного числового массива, вторая – применение алгоритма поиска на «обогащенном» массиве.
Реализация первой стадии при решении ЗОК производится с применением полученного условия оптимальности гамильтонова цикла в графе G с n вершинами.
Условие оптимальности можно использовать для «обогащения» исходного множества ветвей графа: после проверки всех ветвей графа на условие оптимальности число ветвей, которое целесообразно использовать при дальнейшем решении ЗОК, сократится. Ввиду очевидной простоты описание алгоритма не приводится.
Опыт применения этого условия для графов с n = 11–67 показал, что даже после однократного применения такой операции ко всем ветвям графа число ветвей в обогащенном массиве существенно сокращается.
? Системная философия может быть применена для формирования целостных теорий и практик осуществления специально-научного знания – культурологии, социологии, других наук.
Использовать системную философию в качестве методологической основы специально-научного знания можно следующим образом.
Для этого необходимо выделить три ступени реализации этой возможности:
– первая ступень: применение целостного метода, как философии целого, для построения целостной философии (философии целого) специально-научного знания. Могут быть построены, например, целостная социальная философия, как раздел социальной философии, целостная философия культуры, как раздел философии культуры.
На этой ступени применяются и развиваются, применительно к философии данной области знания, определения, а также постулаты и иные положения целостного метода системной технологии. Формируется код целого данной области специально-научного знания и практики;
– вторая ступень: применение метода системной философии для построения комплекса целостных теорий специально-научного знания, реализующих соответствующую целостную философию с применением моделей целостных и целых систем, Принципов, правил, Законов системной философии.
На этой ступени метод системной философии можно применить, например, для построения комплекса социологических теорий (или культурологических теорий) реализующих целостную социальную философию (либо целостную философию культуры).
Вполне возможна необходимость использования двух и более целостных философий специально-научного знания для построения какой-либо одной теории из комплекса теорий специально-научного знания. Например, целостная философия культуры и целостная социальная философия могут быть использованы при построении целостной социологии.