В этом случае коэффициент асимметрии имеет следующее значение:
Как мы видим, в этом случае коэффициент асимметрии равен 4,939145, следовательно, в распределении остатков наблюдается очень сильная правосторонняя асимметрия, т. е. имеет место преобладание положительных остатков над отрицательными. Отсюда можно сделать вывод, что в динамике курса доллара к рублю чаще наблюдались резкие (вполне очевидно, что незначительные плавные колебания курса легко поддаются прогнозированию) подъемы, чем аналогичные падения. С фундаментальной точки зрения этот факт объясняется многолетней политикой Банка России по поддержанию слабого курса рубля.
Коэффициент эксцесса можно назвать индикатором «крутизны» распределения статистического ряда. Коэффициент эксцесса для нормального распределения равен 3. В том случае, когда этот коэффициент больше 3, это является показателем «островершинного» распределения, а если меньше 3, это свидетельствует о «плосковершинном» распределении статистического ряда. Коэффициент эксцесса для остатков в EViews вычислен по следующей формуле:
где расчетное стандартное отклонение а находится таким же образом, как и в формуле (4.10).
В нашем случае коэффициент эксцесса имеет следующее значение:
Поскольку коэффициент эксцесса равен 45,83162 (см. табл. 4.5), можно сделать вывод, что распределение остатков является «островершинным». По сути это означает, что в этом распределении имеется ярко выраженное ядро плотности распределения, внутри которого диапазон колебаний величины остатков незначителен, и рассеянное «гало», где разброс колебаний величины остатков весьма значителен. С точки зрения предсказания курса доллара такой характер распределения позволяет задавать, например, при 80 %-ном уровне надежности, не слишком широкие прогностические интервалы. Правда, если инвестор хочет иметь прогноз с более высоким 99 %-ным уровнем надежности, то из-за рассеянного «гало» ширина этих интервалов начинает резко увеличиваться.
В EViews есть возможность посмотреть в графическом виде оценку ядра плотности распределения с помощью опций DISTRIBUTION/ KERNEL DENSITY GRAPHS… (распределение/графики ядра плотности распределения). В появившемся мини-окне KERNEL DENSITY (ядро плотности распределения) по умолчанию устанавливается опция EPANECHNICOV, а всего их здесь семь и отличаются они друг от друга по используемому алгоритму сглаживания (рис. 4.2).
Дело в том, что в отличие от обычной гистограммы (столбчатая диаграмма, высота каждого прямоугольника которой пропорциональна частоте распределения в заданном интервале значений) график ядра плотности распределения создается с помощью сглаживания, в ходе которого различным наблюдениям присваиваются определенные веса. При этом соблюдается следующий принцип: чем дальше отдельное наблюдение от оцениваемой «точки», тем более легкий вес ему присваивается. В результате получается диаграмма, приведенная на рис. 4.3, на которой хорошо виден «островершинный» характер ядра плотности распределения остатков.
Для большей наглядности ядро плотности распределения остатков можно сравнить с нормальным распределением, имеющим стандартное ядро плотности распределения (рис. 4.4). С этой целью мы получили в Excel нормальное распределение, используя опции АНАЛИЗ ДАННЫХ/ГЕНЕРАЦИЯ СЛУЧАЙНЫХ ЧИСЕЛ. Сравнив рис. 4.3 и 4.4, легко заметить, что у нормального распределения, во-первых, вершина гораздо более плоская; во-вторых, ядро плотности распределения значительно шире; в-третьих, рассеянное «гало» не столь широко разбросано по краям.
Продолжим анализ характера распределения остатков и с этой целью посмотрим оценку значимости критерия Жарка — Бера, представленную в табл. 4.5. При этом следует иметь в виду, что величина критерия Жарка — Бера служит для проверки нулевой гипотезы о нормальном распределении изучаемого статистического ряда. Тестовая статистика в этом случае измеряет разницу между нормальным распределением и коэффициентами асимметрии и эксцесса, вычисленными для данного статистического ряда. Критерий Жарка — Бера находится по следующей формуле:
где N— количество наблюдений;
А — коэффициент асимметрии;
К— коэффициент эксцесса;
k — количество параметров, использованных для создания данного временнoго ряда.
После этого значение теста Жарка — Бера сравнивают с распределением χ2 (хи-квадрат) с двумя степенями свободы. В том случае, если критерий Жарка — Бера > χ2крипт, то делается вывод о неслучайном характере распределения, а следовательно, нулевая гипотеза о нормальном распределении опровергается. В нашем случае значение теста Жарка — Бера равно 17147,64, а следовательно, если сравнить с соответствующим табличным значением χ2крипт001,2 = 9,21, то рассчитанный нами критерий Жарка — Бера существенно выше последнего.
Впрочем, нам не обязательно заглядывать в таблицу. Чтобы вычислить значимость критерия Жарка — Бера в Excel, достаточно воспользоваться функцией ХИ2РАСП (17147,64; 2) = 0. Ав EViews значимость (Probability) критерия Жарка — Бера, равная нулю, выдается автоматически (см. табл. 4.4).
Поскольку при значимости критерия Жарка — Бера (Probability) < 0,05 нулевая гипотеза о нормальном распределении опровергается с 95 % уровнем надежности, то, следовательно, в нашем случае мы вынуждены отвергнуть гипотезу о нормальном распределении остатков.
В EViews имеется и ряд других тестов, с помощью которых можно провести дополнительную проверку нулевой гипотезы о нормальном распределении. В частности, если в файле RESID воспользоваться опциями VIEW/DISTRIBUTION/EMPIRICAL DISTRIBUTION TESTS… (смотреть/распределение/тесты на проверку характера эмпирического распределения), то мы получим результаты проверки нулевой гипотезы о нормальном распределении остатков с помощью соответствующих тестов Лиллиефорса (Lilliefors), Крамера фон Мизеса (Cramer von Mises), Уотсона (Watson) и Андерсона — Дарлинга (Anderson — Darling). Результаты тестирования занесены в табл. 4.6. Поскольку значимость (Probability) критериев по всем четырем тестам равна нулю, то нулевая гипотеза о нормальном распределении остатков опровергается.
В связи с опровержением нулевой гипотезы возникает вопрос: можно ли в этой ситуации строить интервальные прогнозы по курсу доллара исходя из предположения о нормальном распределении остатков? Вот как на него отвечает известный американский профессор статистики Стэнфордского университета Т. Андерсон: «Приведенные процедуры проверки гипотез и построения доверительных областей были основаны на предположении о том, что наблюдения распределены нормально. Если предположение о нормальности не выполняется, то эти процедуры все же можно применять для больших выборок, используя асимптотическую теорию…