Проверка авторегрессионного процесса на стационарность проводится следующим образом. Согласно нулевой гипотезе, предполагается, что если ρ = 1, то временной ряд нестационарный, а в случае ее опровержения принимается альтернативная гипотеза, утверждающая, что ρ < 1, а следовательно, ряд стационарный.
В ходе решения обычного уравнения регрессии рассчитывается t-статистика для коэффициента регрессии ρ, совпадающая с расчетными значениями статистики Дикки — Фуллера, которая потом сравнивается с критическими значениями статистики Дикки — Фуллера (обычно даются в таблице, но в EViews, естественно, мы их получим в готовом виде). Сравнение проводится по одностороннему критерию, но если бы альтернативная гипотеза состояла в утверждении, что ρ ≠ 1, то тогда мы пользовались бы двусторонним критерием. Поскольку проверка гипотезы проводится по одностороннему критерию, то в этом случае, если расчетное значение t-статистики для коэффициента регрессии ρ будет меньше критического значения статистики Дикки — Фуллера (с поправкой на число наблюдений), нулевая гипотеза о том, что ρ = 1 отклоняется и принимается альтернативная гипотеза о том, что ρ < 1, а следовательно, временной ряд Yt можно считать стационарным.
Стандартный тест Дикки — Фуллера проводится после вычитания Yt-1 из левой и правой частей уравнения (4.4). В результате мы получаем следующую формулу:
Yt — Yt-1 = ρYt-1 — Yt-1 + et (4.5)
Учитывая, что dY1 = Yt- Yt-l, а ρYt-1 — Yt-1 = (ρ -1)Yt-1, и приравняв α = (ρ-1), получим новое уравнение:
dY1 = αYt-1 + et (4.6)
С учетом того, что при r = 1 параметр а становится равным нулю, то соответственно в случае принятия нулевой гипотезы α = 0, а если принимается альтернативная гипотеза, то соответственно |α| < 1, а следовательно, временной ряд считается стационарным.
Однако на практике большую популярность приобрел расширенный тест Дикки — Фуллера AUGMENTED DICKEY — FULLER, так как он учитывает возможную автокорреляцию в остатках. При этом в правую часть уравнения (4.6) включаются дополнительные лаговые переменные Y. В результате это уравнение приобретает следующий вид:
В дальнейшем эти знания нам потребуются для проверки авторегрессионного процесса 2-го порядка (см. уравнение (4.1)) на стационарность, а пока применим эту теорию для проверки на стационарность остатков, полученных в результате решения этого уравнения. Заполнив в алгоритме № 9 мини-окно UNIT ROOT TEST и щелкнув кнопку ОК, мы фактически решили следующее уравнение регрессии:
В результате решения расширенного теста Дикки — Фуллера мы получили табл. 4.4 с итогами теста, свидетельствующими о стационарности остатков. О том, как мы пришли к этому выводу, подробно рассказано выше (см. алгоритм действий № 9 «Как проверить в EViews остатки на стационарность модели»).
Поскольку мы доказали, что остатки, полученные по модели авторегрессии 2-го порядка без константы, являются стационарными, то, следовательно, можно сделать вывод, что их распределение носит устойчивый характер.
4.3. Описательная статистика и тестирование остатков на нормальное распределение
Теперь нашей задачей является ответить на следующий важный вопрос: является ли распределение полученных остатков нормальным? При составлении интервальных прогнозов мы исходим из предположения, что распределение остатков носит нормальный характер, поэтому теперь должны проверить, насколько это утверждение соответствует истине.
Алгоритм действий № 10 Как в EViews получить описательную статистику остатков Шаг 1. Установка необходимых опций
Чтобы узнать характер распределения остатков, необходимо в рабочем файле открыть файл RESID, а затем выбрать опции VIEW (CMOTpeTb)ZDESCRIPTIVE STATISTICS (описательная статистика)/ STATS TABLE (таблица со статистикой). В результате мы получили табл. 4.5 с описательной статистикой для остатков.
Шаг 2. Интерпретация результатов теста
Во-первых, если Probability (значимость) больше 0,05, то гипотеза о нормальном распределении остатков подтверждается. Поскольку в нашем случае Probability = 0, то гипотеза о нормальном распределении остатков отклоняется. Во-вторых, если коэффициент асимметрии (Skewness) больше нуля, то в остатках наблюдается правосторонняя асимметрия, а если меньше нуля — левосторонняя асимметрия. Судя по табл. 4.5, в этом случае в распределении остатков наблюдается правосторонняя асимметрия. Если коэффициент эксцесса (Kurtosis) больше 3, то наблюдается островершинное распределение, а если меньше — плосковершинное распределение статистического ряда. В этом случае мы наблюдаем «островершинное» распределение остатков. С более подробной интерпретацией описательной статистики можно познакомиться ниже.
Дадим некоторые пояснения к табл. 4.5. Так, среднее (Mean) равно сумме всех остатков, деленной на количество наблюдений. В свою очередь медиана (Median) представляет собой величину, расположенную в середине нечетного ряда, ранжированного в порядке возрастания или убывания. В четном ряде медиана равна среднему значению двух соседних величин, расположенных в середине ряда. Соответственно максимум (Maximum) и минимум (Minimum) означают максимальное и минимальное значения временного ряда.
Стандартное отклонение является мерой дисперсии для временного ряда и находится по формуле для стандартного отклонения по выборке:
В нашем случае стандартное отклонение имеет следующее значение:
Коэффициент асимметрии является своего рода индикатором, показывающим степень асимметричности распределения статистического ряда. Следует иметь в виду, что в случае полной симметрии, в том числе и при нормальном распределении, коэффициент асимметрии должен быть равен нулю. Если коэффициент асимметрии меньше нуля, то говорят о левосторонней асимметрии, а если больше нуля, — то о правосторонней асимметрии. Коэффициент асимметрии для остатков в EViews рассчитан по следующей формуле:
В этом случае коэффициент асимметрии имеет следующее значение: