Даже если точки, отмеченные красящим веществом, изначально будут находиться очень близко друг к другу, в конечном итоге они окажутся в произвольных частях аттрактора. Прогнозирование финального состояния любой из этих точек при сколь угодно малой ошибке измерения невозможно — в зависимости от допущенной ошибки финальные состояния точек могут располагаться в любой части странного аттрактора. Хаос перемешивает орбиты подобно тому, как пекарь замешивает тесто. Поведение орбит геометрически описывается посредством операций растяжения и складывания. Орбиты должны растягиваться, при этом будут возрастать ошибки (эффект бабочки), а также складываться и постепенно сплетаться по мере приближения к аттрактору (эффект карточной колоды). Растягивание увеличивает неопределенность, при складывании изначально далекие друг от друга траектории сближаются, а информация об исходном состоянии системы уничтожается. Траектории смешиваются, как смешиваются карты в колоде в руках умелого игрока. Так как операции растяжения и складывания повторяются бесконечное число раз, в аттракторах хаотических систем должно наблюдаться множество сгибов внутри каждого сгиба. Именно поэтому с геометрической точки зрения хаотические аттракторы намного сложнее классических. По мере увеличения масштаба хаотические аттракторы раскрывают всё новые и новые детали и проявляют свое самоподобие: структура хаотических аттракторов на микроуровне столь же сложна, как и на макроуровне. Одним словом, хаотические аттракторы — это фракталы.
Несколько примеров хаоса
Мы увидели, что существуют математические системы, обладающие хаотической динамикой. Но каково их практическое значение? Что такое хаос: правило или исключение?
Хаос вездесущ и проявляется повсеместно: и при движении небесных тел (задача трех тел), и при колебаниях двойных маятников, в потоках на грани турбулентности (поток Рэлея — Бенара), в некоторых химических реакциях (реакция Белоусова — Жаботинского), в определенных биологических популяциях и так далее. Открытие повсеместного присутствия хаоса стало третьей великой революцией в науке за последние 100 лет, после открытия теории относительности и квантовой механики.
Достойный упоминания пример хаотического движения в Солнечной системе — движение Гипериона, спутника Сатурна, по форме напоминающего картофелину, который, как может показаться, совершает случайные колебания. Гиперион движется вокруг Сатурна по орбите правильной формы, однако вращается вокруг себя совершенно беспорядочно: в результате быстрого хаотического движения он переворачивается каждые 6 часов и при вращении вокруг своей оси в буквальном смысле подскакивает.
* * *
МИТЧЕЛЛ ФЕЙГЕНБАУМ В ПОИСКАХ ХАОСА
Митчелл Фейгенбаум (род. 1944) — специалист по математической физике, первый, кто начал изучать хаос с помощью компьютеров. В 1975 году методом проб и ошибок он обнаружил число, которое сегодня называется постоянной Фейгенбаума и характеризует переход от периодического движения к хаотическому. Мы уже наблюдали это любопытное явление, когда говорили о логистическом отображении: по мере того как мы постепенно изменяли значение параметра к, периоды орбит удваивались. На смену орбитам с периодом 1 приходили орбиты с периодом 2,4,8,16,32 и так далее, после чего, при превышении критического значения к, равного 3,569945…, наступал хаос.
Удвоение периодов орбит, начиная с k — 2 и заканчивая этим значением, происходит так быстро, что в конечном итоге период удваивается бесконечное число раз. Так возникает хаос. По мере увеличения к возрастает и сложность логистической системы: из стационарной она становится периодической, затем — хаотической. Если мы представим точку или точки, к которым сходится орбита х — 0,8 в логистическом отображении для различных значений параметра k, получим диаграмму, представленную на следующей странице.
На этой диаграмме значения к откладываются по горизонтальной оси, значения, к которым стремится орбита х — 0,8, — по вертикальной. Если мы зафиксируем значение k, то вертикальный разрез будет изображением соответствующего аттрактора на интервале от 0 до 1. К примеру, при k — 3,0 вертикальная линия пересекает график всего в одной точке. Это означает, что точка имеет период, равный 1, и является фиксированной. Другой пример: при k — 3,2 вертикальная линия пересечет график в двух точках. Это означает, что орбита представляет собой 2-цикл. По мере движения по горизонтали от k — 2,4 до k — 4 ветви дерева Фейгенбаума будут раздваиваться вследствие удвоения периода. Когда мы преодолеем критическое значение 3,569945…, аттрактор, определяемый вертикальными линиями, превратится в беспорядочную полосу. Он будет представлять собой фрактал (Канторово множество). При значениях k, превышающих пороговое, будут наблюдаться отдельные островки периодичности. К примеру, при k — 3,82 на диаграмме наблюдается полоса: если мы проведем воображаемую вертикальную линию, она пересечет диаграмму всего в трех точках: вверху, в середине и внизу. Иными словами, орбита будет представлять собой 3-цикл. Как вы уже знаете, «период, равный трем, означает хаос», поэтому то хаотическое нагромождение точек, которое наблюдается на диаграмме для последующих значений параметра, не должно казаться таким уж удивительным.
Фейгенбаум вычислил отношения относительных расстояний между ветвлениями (иными словами, между размерами ветвей дерева) и заметил, что эти отношения в пределе стремились к 4,669201… вне зависимости от того, какое отображение рассматривалось — логистическое или любое другое.
Следовательно, найденная им постоянная была универсальной. Хотя Фейгенбаум обнаружил эту постоянную эвристическим методом, а не с помощью формального доказательства, его открытие считается гениальным.
Бифуркационная диаграмма, или диаграмма Фейгенбаума, для логистического отображения.
* * *
Кроме того, в 1988 году двое ученых из MIT, Джеральд Джей Сассман и Джек Уисдом, показали, что движение Плутона также является хаотическим. На самом деле траектория Плутона особенно интересна: его орбита пересекается с орбитой Нептуна, и, возможно, в не столь далеком будущем Нептун и Плутон столкнутся, и произойдет настоящая космическая катастрофа. С помощью суперкомпьютера Сассман и Уисдом рассчитали траекторию Плутона на ближайшие 845 млн лет и обнаружили, что в силу неопределенности исходных условий две изначально близкие траектории будут существенно различаться уже спустя всего 20 млн лет — совсем небольшой промежуток времени по сравнению с возрастом Солнечной системы, который составляет как минимум 4,5 млрд лет. К счастью, при движении нашей планеты хаос не столь заметен: неточности при определении положения Земли начинают наблюдаться только по прошествии 100 млн лет.
Гиперион — спутник Сатурна неправильной формы. Фотография сделана зондом Кассини-Гойгенс.
Есть и другие примеры, показывающие, как проявляется хаос в нашей Солнечной системе. Пояс астероидов между Марсом и Юпитером движется под действием силы притяжения Солнца, однако подвержен колебаниям, вызванным притяжением Юпитера. Таким образом, можно говорить о задаче трех тел (Солнце, Юпитер и пояс астероидов). Некоторые движения в этой системе будут равномерными, другие — хаотическими. Астероиды, движущиеся равномерно, остаются на своих орбитах, а те, что движутся по хаотическим траекториям, через некоторое время сходят с орбит и теряются в космосе. Следовательно, астероиды распределены неоднородно, между ними есть промежутки — щели Кирквуда, названные в честь американского астронома, который открыл их еще в 1860 году. Если при вращении вокруг Солнца астероид пересекает одну из этих зон, его период вращения входит в резонанс с периодом обращения Юпитера, и газовый гигант уводит астероид с орбиты. Если астероид, сойдя с орбиты, направится к Марсу или к Земле, то гармонии в Солнечной системе придет конец. Нечто похожее происходит с полосами между кольцами Сатурна: частицы, движущиеся в зоне резонанса, сходят с орбит, в результате чего образуются щели.
* * *
АНТИНЬЮТОНОВСКИЙ МИР
Американский физик Джулиан Спротт (род. 1942) описал мир, параллельный нашему, в котором первые два закона Ньютона выполняются, а третий, закон действия и противодействия, — нет. В этом мире силы взаимодействия двух тел не равны по величине и противоположны по направлению, а равны и по величине, и по направлению. Иными словами, когда лягушка, севшая на кувшинку, спрыгивает с нее, то кувшинка не отклоняется назад, а словно бы тянется вслед за лягушкой. Итоговая динамика обладает рядом любопытных свойств, в число которых входит хаотическое по ведение в задаче двух тел.