сохраняя в то же время соотношение углов одного треугольника с углами другого. Если треугольник только вращать, то нарушится соотношение. В нашем мире есть фигуры, совершенно аналогичные двум этим треугольникам.
Мы знаем формы совершенно равные одна другой и совершенно подобные, но которые тем не менее не могут занимать одного и того же пространства, и которые мы не можем заставить совпадать между собой — ни на деле, ни в воображении.
Если мы посмотрим на свои руки, мы увидим совершенно ясно, что наши две руки представляют собой очень сложный случай несимметрического подобия. Они и одинаковы и совершенно разные. Одна правая, другая левая. Мы можем представить себе только один способ сделать две руки совершенно одинаковыми. Если мы возьмём перчатку с правой руки и перчатку с левой руки, они так же не будут совпадать одна с другой, как правая рука не совпадает с левой рукой. Но, если мы вывернем одну перчатку наизнанку, они будут совпадать одна с другой. Если мы хотим представить себе, что правая рука делается одинаковой с левой, мы должны мысленно вывернуть её наизнанку, то есть, так сказать, протащить её сквозь неё самоё. Если бы такая операция была возможна, то мы получили бы две совершенно одинаковые руки.
Но такая операция была бы возможна только в пространстве высшего измерения, так же как перевёртывание треугольника возможно только в пространстве высшем сравнительно с плоскостью. Возможно, что даже при существовании пространства четвёртого измерения вывёртывание руки наизнанку, протаскивание её сквозь неё самоё неисполнимо по причинам, независящим от геометрических условий. Но это не меняет примера. Вещи, подобные вывертыванию руки наизнанку, теоретически должны быть возможны в пространстве четырёх измерений, так как в этом пространстве должны соприкасаться или иметь возможность соприкасаться различные, даже очень отдалённые точки нашего пространства и времени. Все точки листа бумаги, лежащего на столе, лежат отдельно одна от другой. Но, взяв лист со стола, его можно сложить, сближая при этом любые точки. И если на одном углу написано Петербург, а на другом Мадрас, то это не может помешать сложить вместе эти углы. И если на третьем углу написано 1812 год, а на другом 1912 год, то эти углы тоже могут соприкоснуться. И если на одном углу год написан красными чернилами и чернила ещё не высохли, то цифры могут отпечататься на другом углу. И если после этого лист расправить и положить на стол, то для человека, не знающего, что его можно снимать со стола и складывать в любом направлении, будет совершенно непостижимо, как цифра с одного угла могла отпечататься на другом. Для него будет непостижима возможность соприкосновения отдалённых точек листа — и это останется непостижимым до тех пор, пока он будет мыслить лист только в двумерном пространстве. Как только он представит себе лист в трёхмерном пространстве, эта возможность станет для него реальной и очевидной.
Рассматривая отношение четвёртого измерения к трём известным нам измерениям, мы должны сказать, что нашей геометрии очевидно недостаточно для исследования высшего пространства.
Раньше было указано, что тело четырёх измерений несоизмеримо с телом трёх измерений, как год несоизмерим с Петербургом.
Совершенно ясно, почему это так. Тело четырёх измерений состоит из бесконечно большого количества тел трёх измерений, поэтому для них не может быть общей меры. Тело трёх измерений в сравнении с телом четырёх измерений равно точке в сравнении с линией.
И как точка несоизмерима с линией, как линия несоизмерима с поверхностью, как поверхность несоизмерима с телом, так трёхмерное тело несоизмеримо с четырёхмерным.
Ясно также, почему геометрии трёх измерений недостаточно для определения положения области четвёртого измерения по отношению к трёхмерному пространству.
Как в геометрии одного измерения, то есть на линии, нельзя определить положения поверхности, сторону которой составляет данная линия; как на поверхности в геометрии двух измерений нельзя определить положения тела, сторону которого составляет данная поверхность, так в геометрии трёх измерений, в трёхмерном пространстве, нельзя определить четырёхмерного пространства. Говоря короче, как планиметрии недостаточно для исследования вопросов стереометрии, так стереометрии недостаточно для четырёхмерного пространства.
Как вывод из всего сказанного можно опять повторить, что каждая точка нашего пространства является разрезом линии высшего пространства или, как выразил это Риман: материальный атом является вступлением четвёртого измерения в пространство трёх измерений.
* * *
Чтобы подойти ближе к проблеме высших измерений и высшего пространства, прежде всего необходимо понять сущность области высших измерений и её свойства сравнительно с областью трёх измерений. Только тогда явится возможность более точного исследования этой области и выяснения действующих в ней законов.
Что же нужно понять?
Мне кажется, прежде всего нужно понять, что здесь речь идёт не о двух областях пространственно разных, и не о двух областях, из которых одна (опять пространственно, «геометрически») составляет часть другой, а о двух способах восприятия одного и того же единого мира [как части] единого пространства.
Затем нужно понять, что все известные нам предметы существуют не только в тех категориях, в каких мы их воспринимаем, но в бесконечном количестве других, в которых мы не умеем или не можем ощущать их. И мы должны научиться сначала мыслить вещи в других категориях, потом представлять их, насколько можем, в других категориях, и только после этого у нас может появиться способность воспринимать их в высшем пространстве — и ощущать самоё «высшее пространство».
Или, может быть, прежде всего нужно непосредственное восприятие всего того, что в окружающем нас мире не входит в рамку трёх измерений, что существует вне категории времени и пространства — и что поэтому мы привыкли считать несуществующим. Если переменность есть признак трёхмерного мира, то мы должны искать постоянного и таким образом можем приблизится к пониманию четырёхмерного мира. Затем, мы привыкли считать реально существующим только то, что поддаётся измерению в длину, ширину и высоту. Но, как уже было указано, пределы реально существующего необходимо расширить. Измеримость слишком грубый признак существования, потому что сама измеримость чересчур условное понятие. И мы можем сказать, что для приближения к точному исследованию области высших измерений нужна, вероятно, уверенность, получаемая путём непосредственного ощущения, что многое неизмеримое существует так же реально и даже более реально, чем многое измеримое.
ГЛАВА VI
Для определения того, чем может и чем не может быть область высших измерений, пользуются рядом аналогий и сравнений. Так делают Фехнер, Хинтон и многие другие.
Представляют себе «миры» одного, двух измерений — и из отношений низших миров к высшим