Читать интересную книгу 4a. Кинетика. Теплота. Звук - Ричард Фейнман

Вернемся теперь к общему движению струны. Оказывается, что любое возможное движение можно рассматривать как одно­временное действие некоторого числа собственных колебаний. На самом деле для описания наиболее общего движения долж­но быть одновременно возбуждено бесконечное число собствен­ных гармоник. Чтобы получить некоторое представление о том, что происходит при таком сложении, давайте посмотрим, что получится при одновременном колебании двух первых соб­ственных гармоник. Пусть первая из них колеблется так, как это показано в ряде схематических чертежей фиг. 49.3, где изображены отклонения струны через равные промежутки вре­мени на протяжении полуцикла низшей частоты.

Предположим теперь, что одновременно с первой собствен­ной гармоникой работает и вторая. Последовательные положе­ния струны при возбуждении этой собственной гармоники показаны тоже на фиг. 49.3 пунктирной линией. По отношению к первой гармонике они сдвинуты по фазе на 90°. Это означает, что в начальный момент никакого отклонения не было, но ско­рости двух половинок струны направлены в противоположные стороны. Вспомним теперь общий принцип линейных систем: если взять любые два решения, то сумма их тоже будет реше­нием. Поэтому перемещения, полученные сложением двух ре­шений, показанных на фиг. 49.3, будут третьим возможным ре­шением

Фиг. 49.3. Две гармоники, напоминающие при сложе­нии бегущую волну.

На этом же рисунке показан и результат сложения, который начинает напоминать горб, пробегающий взад и вперед по струне от одного конца до другого, хотя с помощью только двух собственных гармоник нельзя построить доста­точно хорошей картины такого движения; их нужно гораздо больше. Этот результат представляет на самом деле частный случай основного принципа линейных систем, который гла­сит:

Любое движение можно рассматривать как составленное из различных собственных гармоник, взятых с надлежащими ам­плитудами и фазами.

Значение этого принципа обусловлено тем фактом, что каж­дое собственное колебание — очень простая вещь — это просто синусоидальное движение во времени. По правде говоря, даже общее движение струны — еще не самая сложная вещь; суще­ствует движение куда более сложное, скажем такое, как виб­рация крыльев самолета. Тем не менее даже у крыльев само­лета можно обнаружить некие собственные кручения с опре­деленными частотами. А если так, то полное движение можно рассматривать как суперпозицию гармонических колебаний (за исключением тех случаев, когда вибрация настолько велика, что система уже не может рассматриваться как линейная).

§ 3. Двумерные собственные колебания

Сейчас мы перейдем к рассмотрению очень интересного поведения собственных гармоник в двумерных колебаниях. До сих пор мы говорили только об одномерных колебаниях: натянутой струне или звуковых волнах в трубе. В конце концов мы должны добраться до трех измерений, но сначала давайте остановимся на более легком этапе — этапе двумерных колеба­ний. Возьмем для большей определенности прямоугольный ре­зиновый барабан, перепонка которого закреплена по краям так, что на прямоугольном крае барабана она перемещаться не может. Пусть размеры прямоугольника будут

равны а и 6, как это показано на фиг. 49.4.

Фиг. 49.4. Колебание прямо­угольной пластинки.

Прежде всего, каковы ха­рактеристики возможного движения? Можно начать с того же, с чего мы начали, когда рассматривали пример со стру­ной. Если бы никакого закрепления не было вовсе, то можно было бы ожидать появления волн, бегущих в некото­ром направлении, например синусоидальной волны, опи­сываемой функцией ехр(iwt) ехр[-i(kчx)+i(kyy)], направле­ние движения которой зависит от относительной величины чисел kxи ky. А как теперь сделать узел на оси х, т. е. при y=0? Используя ту же идею, что и для одномерной струны, можно добавить волну, описываемую комплексной функцией

-exp(iwt)ехр[-i(kxx)-i(kyy)].

Суперпозиция этих волн в результате дает нулевое переме­щение при y=0 независимо от того, каковы будут значения х и t. (Хотя эти функции будут определены и для отрицательных значений у там, где никакого барабана нет и колебаться не­чему, но на это можно не обращать никакого внимания. Ведь нам хотелось устранить перемещение при у=0, и мы добились этого.) Вторую функцию в этом случае можно рассматривать как отраженную волну.

Однако нам нужно получить узел не только на линии y=0, но и на линии у=b. Как же это сделать? Решение такой задачи связано с некоторыми вещами, которыми мы занимались при изучении отражения света от кристалла. Волны, гасящие друг друга при y=0, могут сделать то же самое и при у=b, только когда 2b sin 0 равно целому числу длин волн l, (q — угол, пока­занный на фиг. 49.4):

ml=2bsinq, m=0, 1, 2, .... (49.7)

Точно таким же образом, т.е. сложением еще двух функций [-exp(iwt)]exp[i(kxx)+ i(kyy)] и [+exp(ict)}exp[i(kxx)-i(kyy)], каждая из которых представляет отражение другой от линии х=0, можно устроить узел и на оси у. Условие того, что линия х=а будет тоже узловой, получается так же, как и условие при у=b, т. е. 2acosq должно быть равно целому числу длин волн:

nl = 2acosq. (49.8)

Тогда окончательный результат таков: волны, «заключенные» в ящике, имеют вид стоячей волны, т. е. образуют какие-то определенные собственные гармоники.

Таким образом, если мы хотим иметь дело с собственными гармониками, то должны удовлетворить двум написанным выше условиям. Для начала давайте найдем длину волны. Ис­ключив из уравнений (49.7) и (49.8) угол q, можно выразить длину волны через a, b, n и т. Легче всего это сделать так: сначала разделить обе части уравнений соответственно на 2b и 2a, а затем возвести их в квадрат и сложить. В результате мы получим уравнение

sin2q+cos2q =1=(nl/2a)2+(ml/2b)2,

которое легко разрешить относительно l:

Итак, мы определили длину волны через два целых числа, а по длине волны мы немедленно получаем частоту w, ибо, как известно, частота равна 2pc, деленной на длину волны.

Этот результат настолько важен и интересен, что необхо­димо теперь получить его строго математически без использо­вания аналогий с отражением. Давайте представим колебание в виде суперпозиции четырех волн, подобранных таким обра­зом, чтобы все четыре линии x=0, х=а, y=0 и у=b были узло­выми. Потребуем еще, чтобы все эти волны имели одинаковую частоту, т. е. чтобы результирующее движение представляло собственное колебание. Из главы об отражении света мы уже знаем, что функция exp(iwt)exp[-i(kxx)+i(kyy)] опи­сывает волну, идущую в направлении, указанном на фиг. 49.4. По-прежнему остается справедливым уравнение (49.6), т. е. k =w/c, с той разницей, что теперь

k2=k2x+k2y. (49.10)

Из рисунка ясно, что kx=kcosq, a ky=ksinq.

Таким образом, наше выражение для перемещения прямо­угольной перепонки барабана (назовем это перемещение j запишется в виде

Хотя выглядит это довольно неприглядно, сумма таких экспо­нент, в сущности, не так уж громоздка. Их можно свернуть в синусы, так что перемещение, как оказывается, приобретает вид

Другими словами, получились знакомые синусоидальные колебания, форма которых тоже синусоидальна как в направ­лении оси х, так и в направлении оси у. Граничные условия при x= 0 и y=0 удовлетворяются автоматически. Однако мы хо­тим, кроме того, чтобы j обращалось в нуль при х=а и у=b. Для этого мы должны наложить два дополнительных условия, а именно kxa и kxb должны быть равны целому числу p (эти це­лые числа могут быть разными для kxa и kyb!). Но поскольку, как мы видели, kx=kcosq и ky=ksinq, то отсюда немедленно получаются уравнения (49.7) и (49.8), а из них следует оконча­тельный результат (49.9).

Возьмем теперь для примера прямоугольник, ширина ко­торого вдвое больше высоты. Если положить а=2b и восполь­зоваться уравнениями (49.4) и (49.9), то можно вычислить ча­стоты всех гармоник