Так вот, берем линейку, которая должна быть длиннее расстояния 2с, и нитку, длина которой равна длине линейки минус 2а. Один конец нитки закрепляем кнопкой в свободном фокусе (то есть не в том, в котором мы закрепили линейку), а другой ее конец
— 376 —
Прошу любить да жаловать! Это сама Лемниската Яковлевна Бернулли. Основное ее свойство в том, что произведение [(F1A) (AF2)] есть величина постоянная, то есть площадь квадрата со стороной F1O равна площади прямоугольника со сторонами F1А и AF2.
прикрепляем к свободному концу линейки. Теперь, если натягивать кончиком карандаша нитку по линейке и в то же время поворачивать линейку около фокуса, карандаш начертит гиперболу.
— Это я тоже вычерчу! — отвечал Илюша. — А параболу?
— А параболу чертят при помощи линейки и угольника. Ты ставишь линейку по директрисе параболы и прикладываешь к ней вплотную угольник малым катетом. Потом берешь нитку, равную по длине большому катету, и закрепляешь ее с одной стороны в фокусе параболы кнопкой, а с другой — в конце большого катета, у острого угла. Натягиваешь нить карандашом, а в то же время заставляешь малый катет угольника скользить по линейке.
— Ну хорошо, — сказал Илюша. — А как же
Можно увидеть Лемнискату, если удастся достать арагонитовую либо селитряную пластинку и рассматривать ее в поляризованном свете.
— 377 —
решается уравнение третьей степени, то есть кубическое? Мы чертили график этого уравнения и находили максимум и минимум ординаты. А как найти корни?
— В частных случаях иногда кубическое уравнение решается довольно просто. Вот задача индусского математика Бхаскара Ачариа, жившего в двенадцатом веке нашей эры:
х3 — 6х2 + 12x; = 35.
Достаточно в левой части прибавить и вычесть восемь, чтобы получить точный куб:
(х3 — 6x2 + 12x — 8) + 8 = 35,
х3 — 6х2 + 12х — 8 = 27;
(x — 2)3 = 27;
х — 2 = 3; х = 5.
Индусский математик нашел только один корень. Другие два будут комплексные, и их легко найти, выделив один из множителей нашего четырехчлена, то есть:
Вот как чертят параболу.
— 378 —
x3 — 6x2+ 12x — 35 = 0;
х3 — 5х2 — х2 + 5х + 7х — 35 = 0;
х2(х — 5) — х (x — 5) + 7 (х — 5) = 0;
(х — 5) (х2 — х + 7) = 0.
Затем ты приравниваешь нулю трехчлен во второй скобке и решаешь квадратное уравнение. Так мы найдем два комплексных корня. А для общего случая есть специальная формула, открытая в шестнадцатом веке итальянским математиком Тарталья, хотя ее чаще называют формулой Кардана, по имени другого математика, современника Тартальи, который ее впервые опубликовал. История этого Тартальи весьма поучительна. В начале шестнадцатого века его родной город Брешиа взяли приступом неприятельские войска. Тарталья, шестилетний мальчик, был найден с разрубленным лицом около бездыханного тела своего отца. Из-за этой раны он так и остался заикой на всю жизнь, а «тарталья» как раз и значит «заика» — это не имя его, а прозвище. Мать его после кончины отца осталась в такой нищете, что взяла своего сынишку из школы, как только он выучил азбуку до буквы «к». Но мальчик горячо любил науку и сам выучился грамоте, потом древним языкам, без которых в то время нельзя было учиться дальше, а затем овладел математикой. А ведь он был до того беден, что даже не мог купить себе бумаги для вычислений и проделывал их на плитах старого кладбища! Тем не менее он стал ученым и сделал немало для алгебры[28]. Вот какая замечательная настойчивость!
— Как наш Ломоносов!
— Правильно! — отвечал Радикс. — Великий был человек Ломоносов. И не зря он выразил уверенность, «что может собственных Платонов и быстрых разумом Невтонов Российская земля рождать».
— А почему он вспоминает Платона?
— Потому что Платон тоже занимался математикой и очень ценил ее. Из его сочинений извлечено теперь много данных о древней науке[29]. Полагают, например, что он дал определение понятию геометрического места. Добавлю, кстати, что кубическая парабола — немаловажная в технике кривая. Например, когда строители железных дорог рассчитывают поворот пути так, чтобы поезд на большой скорости плавно повернул по рельсам, то это закругление нужно рассчитывать именно по кубической параболе.
— 379 —
— Мне еще хочется узнать про максимумы, — попросил Илюша. — Это очень трудно — их определить?
— Да нет, — отвечал Радикс, — не так уж трудно. Давай возьмем пример. Допустим, имеется прямоугольник. Какие надо взять стороны у прямоугольника, чтобы его площадь была наибольшей, если сумма этих двух сторон равна восемнадцати?
— Плохо я что-то понимаю эту задачу! — заметил Илюша.
— Ты слушай, — отвечал Радикс, — и постепенно уразумеешь. Начнем вот с чего. Пусть наши стороны-множители будут а и b, а их сумма будет с, то есть
а +
b =
с.
Теперь возьмем квадраты их суммы и разности и вычтем один из другого:
(а + b)2 = а2 + 2ab + b2—(а — b)2 = а2 — 2ab + b2------------------------------(a + b)2 — (a — b)2 = 4ab
Так как (а + b) равно с, то мы можем написать:
с2 — (a — b)2 = 4ab,
или так еще:
ab — c2/4 — (а — b)2 / 4
Отсюда ясно, что поскольку с есть величина постоянная, то произведение ab изменяется только в зависимости от изменения разности (а — b), но так как квадрат этой разности с минусом, то ясно, что это произведение тем больше, чем меньше абсолютная величина разности (а — b). Следовательно, произведение двух чисел тогда достигает максимума, когда абсолютная величина их разности достигнет минимума. Тебе это ясно?
— Как будто ясно.
— Ну, поехали дальше! Давай назовем игреком искомое произведение. А части его — одна будет икс, а другая…
— А другая будет восемнадцать минус икс, — подсказал Илюша.
— Верно. Следовательно, игрек будет записан так:
y = x (18 — x)
— 380 —
Теперь возьмем разность наших множителей. Назовем ее игрек со штрихом, то есть игрек-штрих:
y′ = x — (18 — x)
Так как мы хотим, чтобы этот игрек-штрих стал минимальным, то поищем, чему должен равняться икс, если игрек-штрих станет нулем. И напишем:
х — (18 — х) = 0;
х — 18 + х = 0;
2х = 18;
х = 9.
Произведение достигает максимума, когда одна его часть равна девяти, а следовательно, и другая тоже равна девяти. Другими словами, максимальную площадь из всех прямоугольников с одинаковым периметром имеет квадрат. Составим табличку. В третьей графе ее стоит не самая разность, а ее абсолютная величина. Дальше девяти табличку продолжать не стоит: все будет симметрично повторяться в обратном порядке.
x 18 —
x x — (18 —
x) x (18 —
x) 1 17 16 17 2 16 14 32 3 15 12 45 4 14 10 56 5 13 8 65 6 12 6 72 7 11 4 77 8 10 2 80 9 9 0 81
Из двух последних столбцов видно, что когда множители равны, то их разность, как и полагается, равна нулю, а произведение их становится наибольшим, то есть достигает максимума.