Спрашивается: что будет с этим выражением, если число n будет неограниченно возрастать? Ясно, что дробь 1/n будет неограниченно приближаться к нулю и ею мы можем пренебречь. В таком случае предыдущее выражение в пределе обратится в
b3/3
что и является результатом нашего интегрирования. Знай, что это один из первых интегралов, полученных человеком, что человека этого звали Архимед и что он рассуждал примерно так, как и мы.
И тут Величайший Змий вырос снова перед ними. Он взглянул на Илюшу, и мальчику показалось, что это могущественное чудовище даже улыбнулось!
— 352 —
Схолия Семнадцатая,
в которой Илюша припоминает разные разности из предыдущих схолий, оставшиеся не совсем ясными, а Радикс рассказывает ему об истории надгробного камня Архимеда, погибшего от меча римского грабителя, о спирали Архимеда. Затем следует масса любопытнейших подробностей о веретенах, о шотландском сыре, о фокусах, которые придумали древнегреческие геометры, о том, как в старину индусы решали кубические уравнения, как в шестнадцатом веке бедный мальчик-заика учился на кладбище грамоте, а также почему у квадрата такая большая площадь и что по этому поводу думает касательная; о битве за высоту над городом Клермоном. А затем Илюша присутствует при волшебном опыте, который поясняет, что такое прямая линия и какие чудеса с ней случаются при ее путешествиях в мировом пространстве. Вслед за этим Илюша и Радикс видят нечто чрезвычайно странное… Но пока это еще страшный секрет, который, может быть, раскроется в будущем…
— Ну, теперь ты доволен? — спросил Радикс.
— Да, — сказал Илюша, — я узнал массу интересных вещей. Теперь я, кажется, понимаю, почему так уважают Архимеда и как велико могущество Змия. Но только у меня есть еще вопросы.
— Ну что ж! Давай твои вопросы. Может быть, как-нибудь вдвоем разберемся.
— 353 —
— Помнишь, ты где-то, кажется в Схолии Одиннадцатой, перечислял мне титулы Величайшего Змия? Так вот, я хотел тебя спросить о них. О площадях я теперь понял: путем интегрирования можно получить площадь любой криволинейной фигуры. С объемами я тоже как будто сообразил. Это, вероятно, делается путем суммирования бесконечно тонких слоев тела, как Демокрит считал объем конуса?
— Правильно. А сейчас мы можем закончить вывод формулы для объема конуса, о которой мы толковали в Схолии Пятнадцатой. Если рассечь конус плоскостью, проходящей через его ось, то получится треугольник. Из рассмотрения этого треугольника ты убедишься в том, что радиус основания цилиндрика, отстоящего на расстояние h от вершины, определится при помощи пропорции:
r/R = h/H
где R — радиус основания, а H — высота конуса. Отсюда
r = (R/H)h
и площадь основания цилиндрика будет
πr2 = π(R2/H2) · h2
Теперь предположим, что мы делим высоту конуса на n частей. Тогда высота каждого цилиндрика будет H/n, а последовательные расстояния оснований цилиндриков от вершины конуса, то есть радиусы этих оснований, будут
h, 2h, 3h,… nh.
Поэтому сумма объемов этих цилиндриков равна
π(R2/H2) · H/h (h2 + 22h2 + … + n2h2) = π R2/H (12 + 22 + … + n2) / n3
Как и в предыдущей схолии, ты убедишься, что предел последнего множителя при неограниченном возрастании n будет равен ⅓, и для объема конуса получается выражение:
⅓πR2H
— 354 —
Множитель ⅓ ты можешь рассматривать как лежащую на этой формуле печать Великого Змия.
— Как интересно! — сказал Илюша. — А с объемом шара можно справиться таким способом?
— Я приведу тебе только чертеж, который, по преданию, Архимед завещал вырезать на своем надгробном памятнике.
Здесь ты видишь цилиндр, вписанный в него шар радиуса R и конус. Разбей все три тела на тонкие «цилиндрические» слои и легко установишь, что на расстоянии h от центра шара площадь поперечного сечения самого шара равна:
π (R2 — h2) = πR2 — πh2
то есть разности площадей поперечных сечений цилиндра и конуса. Суммируя объемы всех тонких цилиндрических пластинок и переходя к пределу, как мы это делали для конуса, находим, что и объем шара тоже будет равен разности объемов цилиндра и конуса. Этот закон и был открыт Архимедом. Таким путем можно найти не только объем всего шара, но и объем любого шарового слоя. В формулы войдет опять множитель ⅓, печать Великого Змия, свидетельствующая о том, что здесь приходилось интегрировать функцию, содержащую квадрат переменной (в данном случае — квадрат высоты h).
— Очень хорошо! — отвечал мальчик. — А теперь вот еще что. Ты назвал Великого Змия развертывателем спиралей. Что это значит?
— Это значит, что путем интегрирования можно получить длину дуги любой кривой, например параболы, окружности и так далее. В частности, и длину спирали. Мы ведь уже говорили, как находится длина дуги.
— Но я должен сознаться, — вздохнув, сказал Илюша, — что до сих пор не пойму, как при помощи этой спирали получается длина окружности, то есть почти квадратура круга?
— Конечно, история эта необычная, — отвечал Радикс. — Из-за нее в средние века долго ломали голову над вопросом квадратуры круга и ни к какому разумному заключению не пришли. Совсем запутались. Начали даже поговаривать, что геометрия — наука, может быть, не слишком точная… Все
— 355 —
это довольно сложно. Могу рассказать лишь о самом принципе этой работы Архимеда. Дело было так. До Византии еще дошла биография Архимеда, написанная его учеником Гераклидом. Затем она была утрачена. Но ее еще читал и изучал византийский математик Евтокий, оставивший очень ценные комментарии к сочинениям Архимеда. По словам Евтокия, Архимед дал два решения о квадратуре, причем одно из них было приближенным…
— Двадцать две седьмых! — воскликнул Илья.
— Правильно! — отвечал Радикс. — А другое решение Архимеда было точным!
— А разве это возможно?
— Слушай меня как только можешь внимательно! Я расскажу тебе, в чем заключается принцип этой работы Архимеда. А уж потом мы постараемся рассудить, что возможно и что невозможно. Здесь вся сила в том, что Архимед, построив свою спираль, ввел в античную математику еще одну, как говорили греки, «механическую» замечательную кривую, то есть такую, свойства которой не могут быть изложены средствами, близкими к элементарной геометрии (в отличие, например, от многих, хотя и не всех свойств конических сечений). Такова и квадратриса, о которой мы уже говорили (эти кривые называются «трансцендентными» кривыми). В силу этого сочинение Архимеда о спиралях и критиковалось в древности! И даже очень жестоко! Только уж в семнадцатом веке в Европе эта дивная работа Архимеда наконец была оценена по своему превосходному достоинству. Нужны были новые основания, новый подход к пониманию для такой кривой, и гений Архимеда нашел их. Эти новые основания и были дифференциальным подходом к изучению кривой, то есть тонким изучением скорости изменения некоторых связанных с ней отрезков. И делается это опять-таки через ту же касательную. Этот метод восходит к методу исчерпания Евдокса, но еще сильнее его. Он просто берет, как говорится, быка за рога. Слушай далее, и ты поймешь, в чем тут дело. Итак, самым главным в работе Архимеда была задача провести касательную к этой новой своеобразной кривой, которую он назвал спиралью. Она, как и квадратриса, построена с помощью двух движений. Первое — это вращение радиуса-вектора (именно так называется тот отрезок прямой, о котором мы уже вспоминали в Схолии Пятнадцатой; его конец чертит нашу спираль), второе — рост этого радиуса-вектора пропорционально углу, на который повернулся вектор. Длина радиуса-вектора и угол его поворота называются полярными координатами точки, являющейся концом радиуса-вектора. Догадываешься, почему эти величины можно называть координатами?