— Мне кажется, — сказал, немного помолчав, Илюша, — что я чуть-чуть разобрался в том, что ты мне рассказывал об интегрировании. Но не можешь ли ты дать какой-нибудь пример того, как это все делается на практике?
— Отчего же! — сказал Радикс. — Это не так трудно, если только у тебя хватит терпения сперва прослушать маленький рассказ насчет очень полезного предмета, который, к сожалению, слишком редко вспоминают при математических объяснениях, то есть насчет шахматной доски, или, как говорили в старину, шашечницы.
— С удовольствием, — сказал Илюша. — Я люблю играть в шахматы. Мы очень часто играем с папой, и когда он мне дает ладью вперед, так я даже и выигрываю.
— Видишь ли, — начал Радикс, — при помощи шашечницы очень удобно производить некоторые суммирования. Но только мы не будем обязательно устанавливать, сколько у нас полей на шашечнице, ибо для наших целей необязательно, чтобы их было шестьдесят четыре. Будем считать, что доска имеет n вертикальных и горизонтальных полос, а следовательно, n2 меток. Установим сперва два способа сложения чисел, которые мы будем писать в клетках доски. Первый способ будем
— 348 —
называть сложением «по прямым». При этом способе мы будем складывать сперва все числа данной полосы (ну, например, если бы сложили все восемь чисел, написанных на седьмой полосе, если считать снизу), а затем сложим и все их суммы. Второй способ мы будем называть сложением «по гномонам». В этом случае мы будем поступать так: первым слагаемым будет одно число из верхней левой клетки (шахматисты называют эту клетку «а8»), вторым — сумма чисел в клетках вертикальной полосы «b» и горизонтальной полосы седьмой вплоть до их пересечения (клетка b7) и включая оное (то есть клетки b8, b7 и а7). Всего во втором слагаемом будет, значит, три клетки. Третье слагаемое состоит из пяти чисел, находящихся в клетках вертикальной полосы «с» и в клетках горизонтальной полосы шестой до их пересечения (клетка с6) и опять-таки включая оное (то есть клетки с8, с7, с6, b6 и а6).
Все остальные слагаемые составляются по тому же принципу (затем, очевидно, пойдет гномон с клеткой пересечения «d5», затем «е4» итак далее). Теперь приступим к самому счету. Начну с того, что напишу в каждой клетке по единице. Если их считать «по прямым», то в каждой полосе будет n. А полос во всей доске тоже n. Ясно, что на всей доске получится n2. Но теперь попробуем считать «по гномонам». Получим:
1; 2 + 1; 3 + 2; …; n + (n-1).
Сумма всех этих чисел будет, очевидно,
1 + 3 + 5 + … + 2n — 1.
Приравнивая сумму «по прямым» сумме «по гномонам», получаю:
1 + 3 + 5 + … + 2n — 1 = n2,
то есть сумма и нечетных чисел равна n2. Как будто недавно мы с тобой уже встречались с этим вавилонским равенством?
— Встречались, — отвечал Илюша.
— Прелестно! — обрадовался Радикс. -Хорошо, что ты не забыл об этом. А теперь далее. Я напишу в каждой горизонтальной полосе числа от единицы до n, то есть
1, 2, 3, 4, 5, … , n,
и ясно, что сумма их будет равна в каждой полосе
(n + 1)n / 2,
— 349 —
по правилу суммы арифметической прогрессии. Раз это так, то ясно, что сумма всех полос доски будет равна
(n + 1)n2 / 2
Теперь рассмотрим, каковы будут суммы «по гномонам». Ясно, что сумма чисел энного гномона будет
n2+ (1 + 2 + 3 + … + n-1).
Эту сумму можно записать еще иначе, то есть:
n2+ n(n + 1) / 2
и окончательно:
⅔n2 — (1/2)n
Теперь я буду давать в этой формуле числу и значения 1, 2, 3… и до n включительно. Суммы тогда будут равны по окончательному написанию:
3/2 · 12 — 1/2 · 1
3/2 · 22 — 1/2 · 2
3/2 · 32 — 1/2 · 3
………
………
3/2 · n2 — 1/2 · n
Сложив все это столбиком, получаю для всех полос:
3/2 · S2 — 1/2 · S
где S2 есть сумма квадратов первых и натуральных чисел, а S — сумма их первых степеней. Приравнивая, как и ранее, сумму «по прямым» сумме «по гномонам», получаю:
3/2 · S2 — 1/2 · S = n2(n + 1) / 2
— 350 —
а отсюда определяю, чему равняется S2 и после ряда несложных переделок, которые, конечно, ты и сам не откажешься выполнить, получаю сумму квадратов первых и натуральных чисел, которая будет:
S2 = (2n + 1)(n + 1)n / 6.
Советую тебе еще написать в клетках шашечницы пифагорову таблицу умножения и по ней найти, чему равна сумма кубов первых n чисел. Если же ты напишешь в клетках квадраты чисел пифагоровой таблицы, то сможешь найти и сумму пятых степеней. Однако нам пока это все, кроме суммы квадратов, не понадобится. Приступим теперь к вопросу об интегрировании. Допустим, что нам дана парабола, уравнение которой будет:
y = х2,
и нам нужно эту функцию проинтегрировать, или найти площадь, ограниченную параболой от начала координат до точки с абсциссой b, то есть площадь, ограниченную отрезком самой параболы, отрезком оси абсцисс и ординатой в точке х = b.
Для этого мы сначала делим интервал (то есть отрезок абсциссы) от нуля до b на n равных частей. Длина каждой такой части будет
h = b / n
Вся площадь теперь разбита на трапецоиды, ширина каждого из которых равна, как уже указано, b/n, а вышину мы определяем, согласно уравнению кривой, для последовательных точек параболы, как
h2, 22h2, 32h2, … , n2h2,
ибо ясно, что если х равен h, то у будет равен h2 и так далее.
Но если это так, то площади последовательных прямоугольников, которыми мы заменяем наши трапецоиды, будут равны
hh2, h22h2, h32h2, … hn2h2.
— 351 —
Видно, что сумма прямоугольников больше, нежели сумма трапецоидов, но при безграничном увеличении числа n искомая площадь будет пределом суммы прямоугольничков, то есть пределом следующего выражения:
h(h2 + 22h2 + 32h2 + … + n2h2) = h3(12 + 12 + 22 + 32 + … + n2) = b3/n3(12 + 12 + 22 + 32 + … + n2)
А так как шахматная доска уже объяснила нам, что сумма первых и квадратов натурального ряда равна
(2n + 1)(n +1)n / 6
то мы, подставляя это выражение в предыдущую формулу, после некоторых несложных переделок получим:
b3/6 (1 + 1/n)(2 + 1/n)
Спрашивается: что будет с этим выражением, если число n будет неограниченно возрастать? Ясно, что дробь 1/n будет неограниченно приближаться к нулю и ею мы можем пренебречь. В таком случае предыдущее выражение в пределе обратится в