Читать интересную книгу Физика движения. Альтернативная теоретическая механика, или Осознание знания. Книга в двух томах. Том II - Александр Астахов

Элементарные окружные участки переносного вращения реальной траектории с радиусами большими среднего радиуса (Rср) больше соответствующих им участков дуги (ЖЗ), в то время как элементарные окружные участки с меньшими радиусами, меньше соответствующих участков дуги (ЖЗ). Однако в силу прямой пропорциональности величины радиуса и длины окружности общая сумма окружных участков вдоль кривой (БС) равна длине дуги (ЖЗ).

Рис. 4.1.6

С учётом изложенного определим линейное ускорение, эквивалентное ускорению Кориолиса (ак) через девиацию поворотного движения. При этом, поскольку в рассматриваемом случае дуга (ЖЗ), кроме девиации поворотного движения включает в себя отрезок, пройденный с начальной линейной скоростью (Vлб), применим формулу равноускоренного движения для пути (S = ЖЗ) с учетом начальной скорости, являющейся постоянной составляющей равноускоренного движения.

S = VлБ * t + ак * t2 / 2 (4.1.1)

Где VлБ – линейная скорость точки (Б)

Тот же самый путь можно определить, как суммарную длину элементарных участков поворотного движения вдоль траектории (БС), из которых и складывается в конечном итоге девиация поворотного движения с учетом постоянной начальной линейной скорости, равной дуге (БГ).

Радиус дуги (ЗЖ) равен среднему радиусу между начальным и конечным радиусом поворотного движения. Обозначим его (Rср):

Rср = (ОС + А) / 2 (4.1.2)

Очевидно, что:

ОС = А + Vр * t (4.1.3)

Подставляя (4.3) в (4.2) получим:

Rср = A + Vр * t / 2 (4.1.4)

Путь (S), выраженный через угловую скорость (ω), определится выражением:

S = Rср * ω * t (4.1.5)

Подставляя (4.4) в (4.5) и приравняв (4.1) и (4.5) получим:

VлБ * t + ак * t2 / 2 = (А + Vр * t / 2) * ω * t

или

2 * VлБ * t + ак * t2 = 2 * А * ω * t + Vр *ω * t2

или

2 * VлБ / t + ак = 2 * А * ω / t + Vр * ω (4.1.6)

Отсюда находим ускорение Кориолиса (ак):

ак = 2 * А * ω / t + Vр * ω – 2 * Vлб / t (4.1.7)

Заметим, что произведение А*ω есть не что иное, как (VлБ). Произведя замену, получим выражение (4.8), в котором отсутствует начальная линейная скорость, т.е. ускорение Кориолиса зависит только от угловой скорости переносного вращения и линейной скорости относительного движения:

ак = ω * Vр (4.1.8)

Выражение (4.8), полученное с учётом реального изменения радиуса поворотного движения отличается от формулы для (ак), приведенной в справочнике по физике для высшей школы (4.9):

ак = 2 * А * ω /t +2 * Vр * ω (4.1.9)

Авторы не учли, что:

во-первых: в любом промежутке времени девиация поворотного движения прямо пропорциональна радиусу, т.е. реальный путь, пройденный телом за счет ускорения Кориолиса ровно вдвое меньше длины дуги (ВС) с максимальным радиусом за вычетом дуги (БГ), равной длине пути, пройденного с начальной линейной скоростью (Vлб);

во-вторых: начальная скорость тела в точке (Б) VлБ ≠ 0. Поэтому путь (S), пройденный телом под действием ускорения Кориолиса равен не:

S = ак * t2 / 2 (4.1.10)

как записано в справочнике. С учетом начальной линейной скорости переносного вращения (VлБ) путь равен:

S = VлБ * t + ак * t2 / 2 (4.1.11)

В случае изменения направления движения тела (Б) на противоположное, т.е. к центру вращения выражение для (Rср) приобретет вид:

Rср = А – V * t / 2 (4.1.12)

S = VлБ * t – ак * t2 / 2 (4.1.13)

Тогда получим для (ак):

— ак = 2 * VлБ / t – 2 * А * ω / t + V * ω (4.1.14)

или

— ак = ω * Vр (4.1.15)

***

Поскольку формулы ускорения Кориолиса (4.1.9) и (4.1.15) соответствуют приращению либо только линейной скорости относительного движения по направлению, либо только приращению линейной скорости переносного движения по абсолютной величине, то формулу ускорения Кориолиса намного проще вывести через прирост линейной скорости переносного вращения.

Пусть тело (Б) движется (см. рис. 4.1.5) вдоль радиуса в направлении точки (В) с постоянной радиальной скоростью (Vр). За время (t) – время прохождения пути (БС) линейная скорость движения по окружности увеличится от линейной скорости точки (Б) – (Vлб) до линейной скорости точки (С) – (Vлс). Разгон происходит под воздействием направляющей (ОВ) на тело (Б) с силой эквивалентной силе Кориолиса (Fк) и ускорением Кориолиса (ак). Ускорение определяется как прирост линейной скорости за единицу времени (t):

ак = (VлС – VлБ) / t (4.1.16)

Если выразить линейные скорости через угловую скорость получим:

ак = (ω * (А + Vр * t) – ω * А) / t (4.1.17)

или:

ак = ω * Vр (4.1.18)

В некоторых случаях радиальное относительное движение может осуществляться с ускорением. Это необходимо учитывать при определении ускорения Кориолиса. Рассмотрим случай равноускоренного радиального движения.

Вернемся еще раз к формуле (4.16):

ак = (VлС – VлБ) / t (4.1.16)

Запишем выражение для линейной (окружной) скорости в точке (Б):

VлБ = ω * А (4.1.19)

И для линейной (окружной) скорости точки (С):

VлС = ω * (А + Vр * t) (4.1.20)

Здесь (Vр) – радиальная скорость с учетом радиального ускорения.

Скорость (Vр) можно найти через радиальное ускорение. Так как ускорение в общем случае может меняться, найдем среднюю величину радиального ускорения (ар) на участке (БС):

ар = (арс + арб) / 2 (4.1.21)

Тогда радиальная скорость с учетом радиального ускорения определится выражением:

Vр = Vрн + (арс + арб) * t/2 (4.1.22)

где: Vрн – радиальная скорость начальная.

Подставим (4.22) в (4.20):

VлС = ω * (А + (Vрн + (арс + арб) * t / 2) * t) =

= ω * А + ω * t * Vрн + ω * арс * t2 / 2 + ω * арб * t2/2 (4.1.23)

Подставим (4.23) и (4.19) в (4.16):

ак = ω * А / t + ω * Vрн + ω * арс * t / 2 + ω * арб * t / 2 – ω * А / t

или формула для ускорения Кориолиса при ускоренном радиальном движении примет вид:

ак = ω * Vрн + ω * t * (арс + арб) / 2 (4.1.24)

Как следует из выражения (4.8) и (4.15), девиация поворотного движения не зависит от начальной линейной скорости переносного вращения, т.к. начальная скорость есть величина постоянная. Поэтому приращение поворотного движения в каждом минимальном интервале времени, начинающегося не с нулевого радиуса эквивалентно приращению поворотного движения, начинающегося с нулевого радиуса. На (Рис.4.1.7) графически пояснено определение девиации поворотного движения с нулевого радиуса поворота без учёта начальной линейной скорости переносного вращения.

Рис. 4.1.7

В соответствии с положениями теоретической механики движение по любой криволинейной траектории может быть достигнуто одним поступательным и одним вращательным движением (см. Рис. 4.1.7). Следовательно, общий путь сложного движения раскладывается на три составляющие: на путь переносного движения (О-О1), путь относительного движения (О1-В = О1-А) и на поворотный путь (ВС).

В соответствии с классической схемой криволинейного движения поступательное движение по траектории переносного движения (О-О1) и вращательное движение в точке переносной траектории, соответствующей конечному моменту рассматриваемого интервала времени в точке (О1) осуществляются с учётом завершённого в рассматриваемом интервале времени относительного движения (ОА).

При этом дуга (ВС), соответствующая максимальному радиусу поворота в рассматриваемом интервале времени принимается за девиацию поворотного движения, в то время как реальный радиус поворотного движения растёт линейно и достигает максимального радиуса поворота только к концу рассматриваемого интервала времени. Таким образом, классическая схема сложного движения не отражает реальной действительности.

При наличии переносного вращения движение вдоль относительной траектории следует рассматривать одновременно с поворотом относительной траектории в конечной точке траектории переносного движения (О1), соответствующей конечному моменту рассматриваемого интервала времени. При этом поступательное движение осуществляется как перемещение точки начала относительного и поворотного движений в конечную точку траектории переносного движения, из которой одновременно осуществляются относительное и поворотное движения. Однако при этом реальная девиация поворотного движения соответствует окружным участкам кривой (О1-С), которая обозначена на рисунке (4.1.7) синим цветом.