— Но ведь ученый халдеи не знал формул Виета?
— Формул, конечно, он не знал, но самый факт определенных взаимоотношений между исходными данными такой задачи и ее решением не мог быть для него тайной, потому что тогда он не сумел бы так решить задачу. Формулировать это еще не умели и не понимали, может быть, сколь это полезно, но факт был известен. Догадываешься, в чем тут разница?
— Как будто… то есть, как вы говорите, не знали, почему?
— Вот именно, — подтвердил Радикс. — Удвоить квадрат оказалось довольно просто, а основное правило решения выясняется при помощи теоремы Пифагора. Если сторона квадрата равна а, то мы узнаем х из пропорции:
Ты, наверно, помнишь, как геометрически производится построение средней пропорциональной?
— Конечно! — отвечал мальчик. — Это мы по геометрии проходили. Откладываешь на прямой отрезки, равные а и 2а, и на их сумме, то есть на 3а, строишь полуокружность, радиус которой равен 1,5а. А теперь, если АВ будет отрезок а и 2а отрезок BD, то из точки В ты восстанавливаешь перпендикуляр до пересечения с окружностью — это и будет искомая средняя пропорциональная. Доказать, что это так, нетрудно. Теорема Пифагора все тут объясняет.
— Хорошо. Таким образом, тебе, следовательно, ясно, что, применяя это несложное построение, для которого ты пользуешься двумя известными тебе по своим свойствам геометрическими местами, то есть прямой и окружностью — иначе сказать, линейкой и циркулем, — ты получишь совершенно точно искомую величину. Но затем стал вопрос об удвоении объема. Тут нужен не квадратный, а кубический корень из двух. Конечно, и для него не так уж трудно найти грубое приближение, вроде дроби 29/23, потому что, если эту дробь возвести в куб, получится 24389/12167 что равно 2,0045, то есть двойка с ошибкой
— 307 —
меньше пяти тысячных. Опять для целей строительства — прекрасное приближение! Но и в этом вопросе, который оброс в Древней Греции разными легендами и широко обсуждался, древнегреческий ученый действует по-особому. И для куба Гиппократ Хиосский вводит в пропорцию еще одну величину, у, причем он допускает, что между х и у соблюдается то же соотношение, что и между а и х. Строится пропорция
а : х = х : у = у : b,
откуда
x2 = ay; y2 = xb; x4 = a2y2 = a2xb;
Положив теперь b = 2а, мы и получаем искомое решение:
х3 = 2а3;
— А тут я чего-то, наверно, не понимаю, — признался Илья. — Зачем же Гиппократу понадобились все эти сложности[24] с его пропорцией? Ведь то, что ты называешь решением, то есть равенство х3 = 2а3, можно прямо написать из условий задачи. Для чего здесь нужна была эта длинная пропорция?
— Видишь ли, чтобы сообразить, зачем Гиппократу понадобилась эта сложная пропорция, надо вспомнить, что греки не располагали современной символикой. Это ты теперь можешь написать сразу:
а у греков пропорция была единственным способом для построения кратных соотношений между величинами. Следы этого громоздкого пропорционального подхода к подобным вопросам можно заметить вплоть до семнадцатого века вашей эры. Гиппократ придумал нужную пропорцию, и заслуга его в том, что он формулировал решение задачи, то есть он «составил уравнение», которое должен был далее решить геометрически, построением. Но Гиппократу это все-таки не удалось. Он только указал общий принцип решения. Решили эту задачу другие греческие математики, в том числе Менехм, ученый, который много занимался коническими сечениями (так что три эти сечения даже назывались в его честь «триа—
— 308 —
дой Менехма»). Это решение представляет собой нечто более сложное, нежели известное тебе построение средней пропорциональной. Искомый отрезок х строится при помощи двух пересекающихся парабол, поскольку парабола имеет близкое отношение к средним пропорциональным.
Параболы:
х2 = аy; y2 = аx;
Ищется средняя пропорциональная между a и 2a.
Впрочем, другие математики древности дали иные решения, не менее остроумные, и подошли впервые к решению кубического уравнения. Рассказ об этой задаче очень популярен среди ученых Возрождения, и для нас интереснее всего то, что принцип Гиппократа и всех, кто шел по его пути, представляет собой не только решение одной-единственной задачи, а является решением определенного типа задач на две средние пропорциональные. Этот вывод уже греческий.
— Это справедливо, — заметил Асимптотос, — но вот что еще можно отметить. Греческая разработка древневосточной науки привела постепенно греков к убеждению, что геометрия покоится на некоторых общих положениях, из которых путем ясного, простого и последовательного рассуждения можно вывести все важнейшие теоремы. Самые размышления стали глубже и проще: вместо того, чтобы покоряться неведомым силам природы, человек стал доискиваться их причин и мало-помалу пришел к заключению, что мировой порядок может быть изложен при помощи вычислений, то есть математически.
Разумеется, успехи вавилонских вычислителей-астрономов очень помогли этому. В Греции возникла пифагорейская школа мыслителей, которая учила, что все на свете определяется числом, причем целым. Значение этой школы в том, что она утверждала; мировой порядок есть нечто от человека не зависящее, что законы природы представляют собой не просто что-то таинственное, но нечто сложное, однако постижимое для человека. И вот при разработке этого учения древние мыслители столкнулись с явлением, которого не знал Древний Восток, — с иррациональностью, которая никакими числами точно выражена быть не может. Это открытие разрушило веру в целое число, а с другой стороны, показало, что геометрия в некотором смысле сильнее арифметики, ибо построить корень из двух нетрудно, а вычислить невозможно.
— 309 —
— Значит, — решил Илья, — это и было одним из завоеваний новой науки?
— Конечно! — ответил Радикс. — Иногда оно выражалось очень странно. Например, утверждали, что геометрия великая наука, а простой счет, которым люди пользуются на базаре, — нечто жалкое и убогое…
— Теперь понять это нетрудно, а тогда… — продолжал Коникос. — Греки постепенно создали такую геометрическую алгебру, где при помощи построений решались довольно сложные задачи. Причем весь ход решения, все рассуждения от начала до конца можно было проследить, обдумать и провести с точки зрения логики точно и ясно. Ясное размышление и точное доказательство — вот драгоценный вклад Древней Греции в математику.
— Но ведь все нельзя точно доказать? — усомнился Илюша. — Многое люди делают и без доказательства.
— Конечно! — подтвердил Коникос. — Мы и говорили о том, как целые поколения простых тружеников, ремесленников, со временем совершенствуя свое мастерство, добиваются замечательных успехов. А осмыслить эти достижения очень трудно. Догадка — великое дело! И обычно она идет впереди рассуждения. На опыте не только человека, но даже насекомого — пчелы, мы видим, что за миллионы лет пчелиное искусство строить соты приобретает такие качества, которые только и можно выразить математически: соты при наименьшем количестве израсходованного материала (воска) обладают наибольшей вместимостью. И это обстоятельство не осталось у греков незамеченным. Но преимущество человека перед пчелой то, что он не только может учить своего преемника на живом примере, но может еще кое-что объяснить и записать…
— Все это очень интересно! Расскажите, пожалуйста, еще про Древнюю Грецию, — попросил Илюша.
— Новый мир Древней Греции, — продолжал Коникос, — был уже в полном своем расцвете. Замечательное различие между людьми из восточных стран, где царили неумолимые деспоты, и людьми нового мира, греками, заключалось в том, что раб деспота умел только исполнять повеления, тогда как в греческом, более свободном государстве, человек научился рассуждать, опираясь не просто на приказы, а на подлинные законы общежительного мира, которые, в свою очередь, состояли из законов природы и великих достижений человеческого труда и опыта. Греки заимствовали у своих соседей ряд важных социально-экономических нововведений: у одних они заимствовали простую и удобную азбуку, у других — чеканную монету, что в результате очень облегчило торговые связи, а