— Хорошо, — сказал Илюша, — это я теперь понимаю. А какие же «прямые», проходящие через точку М, будут параллельными по геометрии Лобачевского к «прямой» АВ?
— Припомни, что параллельные отделяют непересекающиеся, то есть «расходящиеся» с данной, «прямые» от пересекающих ее. Такими, очевидно, и будут «прямые», изображаемые теми двумя полуокружностями, которые встречают данную полуокружность именно на «бесконечно удаленной» прямой.
То есть это будут те именно полуокружности, которые касаются данной полуокружности слева и справа на линии центров, образуя с ней в точках касания нулевые углы. Если ты построишь два перпендикуляра к какой-нибудь «прямой» АС, то легко убедишься, что они будут «расходящимися».
— 292 —
Прямоугольный треугольник ABC.
— Так, — сказал Илюша. — Действительно не очень-то все это просто! А как же насчет суммы углов треугольника?
— Возьми чертеж, на котором две полуокружности равных радиусов почти касаются друг друга. Угол, образуемый ими в их невысоко расположенной точке пересечения, будет невелик, хотя и больше нуля. В остальных же двух точках пересечения, образованных третьей полуокружностью, получаются углы, близкие к шестидесяти градусам. Таким образом, сумма углов будет немногим больше ста двадцати градусов вместо ста восьмидесяти градусов. На маленьком треугольнике этого нельзя заметить так отчетливо.
Через точку М проведено несколько «прямых», не пересекающих «прямую» АВ.
— 293 —
«Прямая» А′В′ параллельна АВ, в сторону А; «прямая» А′′В′′ параллельна АВ в сторону В. «Прямые», проходящие внутри углов А′МА′′ и В′МВ′′, «расходятся» с АВ. «Прямые», проходящие внутри углов А′МВ′′ и В′МА′′, пересекают АВ.
— Потому что они похожи на евклидовы и в них сумма углов почти равна ста восьмидесяти градусам! — воскликнул Илюша. — Кажется, я начинаю наконец разбираться понемногу…
Тут Илюша снова откуда-то услыхал звуки флейты Фавна.
Обернувшись, он увидел, что его хитрая рожица выглядывает из-за уголка цветной занавеси домика. Он протягивал Илюше правую руку и манил его к себе левой.
Два перпендикуляра — АВ и CD — к одной «прямой» «расходятся» — угол параллельности φ острый
— 294 —
— Ты только попробуй! — произнес Фавн шепотом. — Никогда никто не кушал ничего вкуснее!
— Может быть, это и стыдно, — сказал Илюша, отломив втихомолку добрый кусочек казанского сыра и делая вид, что он никакого Фавна и в глаза не видел, — но я должен сознаться, что я тоже до сих пор думал, что геометрия Евклида единственная.
— Стыдного тут ничего нет, — отвечал Асимптотос. — Ты просто не знал, вот и все. Но спорить с построенной системой — это уже совсем другое дело.
— Значит, я уже узнал здесь, кроме евклидовой, три новые геометрии: геометрию лабиринтов, потом геометрию Лобачевского и геометрию Птолемея…
Угол между двумя окружностями одного радиуса, из которых каждая проходит через центр другой, равен 60 градусам.
— То есть сферическую, — заметил Копикос. — Однако я могу тебе показать еще одну геометрию. Это будет геометрия теней. Ты увидишь сейчас удивительные тени. Слышал ли ты такой стишок:
Вот пройдут любые тениПо стене,Странных очерки виденийПри огне…
Неужели ты его не знаешь? Почитай, голубчик! Его написал прекрасный русский поэт Александр Блок. Это почти эти самые тени и есть.
— 295 —
В треугольнике ABC углы А и В близки к 60 градусам, а угол С очень мал, поэтому сумма углов этого треугольника немногим больше 120 градусов.
Асимптотос притащил откуда-то лампочку очень странной и красивой формы, немножко похожую на чайник, в носик которого был вставлен фитиль. Лампа горела не очень ярко, но все-таки светила. В ней было налито нечто вроде оливкового масла. Говорят, будто это была та самая лампа, из-за которой начались несчастья бедной Душеньки в той самой поэме Богдановича, которую так любил юный Пушкин, потому что Aпyлей (сочинивший книгу «Золотой осел», где изложена история Душеньки) ему нравился гораздо больше рассудительного Цицерона[20]. Масло для этой лампы Коникос зачерпнул из фонтана. Затем Коникос сделал какой-то странный жест, и в светлице стемнело. Только и было света, что от масляной лампы.
Асимптотос поставил ее на стол и вырезал круглый кусочек плоскости.
— Смотри теперь на тень этого кружка. Если я поставлю мой диск вертикально параллельно стене на одном уровне с источником света, то и тень на стене получится…
— Круглая, — отвечал Илюша.
— Справедливо. Теперь смотри, что будет с тенью, если я буду поворачивать кружок вокруг его вертикального диаметра. Если я поверну кружок на некоторый угол так, чтобы диск у меня стоял наклонно к плоскости стены, то тень будет…
— 296 —
— Эллипсом! -отвечал Илюша.
— А теперь, — продолжал Коникос, — смотри, какие тени будут получаться от кружка на столе. Если я опущу диск ниже пламени, то на столе получится… На-ка, возьми диск, попробуй сам!
Илюша взял диск, опустил его немного ниже пламени лампы и получил две тени: эллиптическую и круговую, которые он уже видел на стене.
— Теперь, — сказал Асимптотос, — слушай мою команду! Поставь диск вертикально так, чтобы самая высокая его точка находилась на уровне пламени.
Илюша поставил. Тень от кружка стала с одной стороны овальной, а с другой — уходила прямо по столу, и казалось, что две стороны тени уходят вдаль, стремясь сделаться все более и более параллельными.
— Эта тень похожа, — сказал Илюша, — пожалуй, опять на кривую квадратного уравнения.
— Справедливо, — отвечал Коникос. — Ты получил параболу. А теперь подними кружок еще немного повыше, так, чтобы его горизонтальный диаметр был на уровне пламени.
Илюша приподнял кружок. Теперь на стол падала тень только от нижней части кружка. С одной стороны она тоже была похожа на овал, но с другой стороны тень уходила до самого края стола. Однако ее стороны не стремились к параллельности, а шли почти прямо в разные стороны.
— А это что такое?
— Н-не знаю, — сказал Илюша. — Но так как мы видели все конические сечения, кроме гиперболы, это, наверное, она и есть?
— Она самая. А скажи, пожалуйста, не встречал ли ты гиперболу вечером на улице?
— На улице? — удивился Илюша. — Нет, кажется, не встречал.
— А видал ли ты вечером на улице такую картину: у подъезда дома стоит автомобиль с одной зажженной фарой, и свет от фары падает на мостовую?
— 297 —
—Это я, конечно, видал, — ответил Илюша.
— Так вот имей в виду, что освещенный кусок мостовой и рисует на асфальте самую настоящую гиперболу, то есть одну из ее ветвей. Почему? Потому что световой пучок выходит из фары конусом, а мостовая в данном случае является секущей плоскостью по отношению к этому конусу. Когда увидишь эту гиперболу в следующий раз, кланяйся ей от меня… Эта геометрия теней называется проективной геометрией. Вот тебе и пятая геометрия! Учи только, не ленись, у нас геометрий хватит!
— Хорошо, — сказал скромно Илюша, — постараюсь.
— Эта геометрия, — пояснил Радикс, — имеет самое непосредственное отношение к искусству живописи, ибо только она может научить нас, как нарисовать некий предмет на плоскости так, чтобы зрителю казалось, что он видит перед собой настоящий предмет в трехмерном пространстве. Во времена Возрождения эта наука развивалась в трудах крупнейших живописцев того времени: таковы были знаменитый Аьбрехт Дюрер, живший в начале шестнадцатого века, крупнейший архитектор-итальянец Альберти (конец пятнадцатого века) и один из величайших художников всех времен, разносторонний гений Леонардо да Винчи (родился в тысяча четыреста пятьдесят втором году, скончался в тысяча пятьсот девятнадцатом), тоже итальянец по происхождению, который недаром сказал, что глаз человеческий — это «князь математики». Далее ее разрабатывал Паскаль (о нем ты уже слышал), а также и другой француз, Понселе, который был офицером наполеоновской армии, участвовал в походе на Россию, был тяжело ранен в сражении под Красным и подобран русскими войсками на поле боя. После этого он попал в плен к русским и почти целый год прожил в Саратове: там-то он и написал свое знаменитое сочинение по геометрии. Кстати сказать, развитие этой ветви геометрии способствовало