Иван Всеволодович Мещерский родился 10 августа 1859 года в городе Архангельске. В 1871 году он поступил во второй класс Архангельской гимназии, которую окончил в 1878 году с золотой медалью. В аттестате была отмечена "любознательность весьма похвальная, и особенно к древним языкам и математике". Учился Мещерский в Архангельской гимназии в трудных материальных условиях. Педагогический совет гимназии, учитывая блестящие успехи и "недостаточное состояние юноши", освобождал его от платы за обучение и поддерживал небольшой стипендией.
После окончания гимназии Мещерский поступил студентом на физико-математический факультет Петербургского университета. Его выдающиеся способности обратили внимание известного русского профессора по теоретической механике Д. К. Бобылева (1842–1918). По окончании университета в 1882 году Иван Всеволодович был оставлен при кафедре Д. К. Бобылева "для приготовления к профессорскому званию".
В 1890 году И. В. Мещерский начал преподавание в Петербургском университете в качестве приват-доцента кафедры прикладной математики, а в 1891 году был назначен профессором механики Петербургских высших женских курсов; он преподавал теоретическую механику на этих курсах в продолжение 28 лет до 1919 года, когда произошло слияние Высших курсов с университетом.
30 мая 1902 года И. В. Мещерский был назначен исполняющим должность ординарного профессора кафедры теоретической механики во вновь организованный Санкт-Петербургский политехнический институт, в котором и протекала в дальнейшем его основная научная и педагогическая деятельность. 16 октября 1902 года Иван Всеволодович читал первую лекцию по механике в политехническом институте; на долю теоретической механики выпала первая лекция вообще, прочитанная в стенах нового института.
17 мая 1909 года Иван Всеволодович был утвержден ординарным профессором политехнического института, а 6 ноября 1915 года утвержден в звании заслуженного профессора. Более тридцати выпусков русских инженеров получили свое образование по механике у профессора Мещерского.
Два основных фактора отличают уравнения движения точки переменной массы от уравнения Ньютона: переменность массы и принятая гипотеза отделения частиц, определяющая добавочную или реактивную силу. Если относительная скорость отделяющихся частиц равна нулю, то добавочная сила, обусловленная процессом отделения частиц, также равна нулю. Естественно было начать разработку теории с такого частного случая, когда реактивная сила не будет входить в расчеты. Результаты исследования движения точки переменной массы в этом предположении были доложены Мещерским Петербургскому математическому обществу в 1893 году. Из частных задач этого типа была рассмотрена весьма актуальная в те годы задача небесной механики о движении двух тел переменной массы. Основные выводы проведенного исследования были опубликованы в работе "Один частный случай задачи Гюльдена"[1].
Дальнейшие занятия вопросами теории движения тел переменной массы привели Мещерского к созданию вполне законченной и строго обоснованной динамики точки переменной массы. Впервые в научной литературе Мещерский опубликовал основные дифференциальные уравнения точки переменной массы в 1897 году и тем самым дал возможность получения количественных закономерностей для различных частных задач движения. Эти уравнения носят имя своего создателя.
Для задач ракетной техники уравнения Мещерского отображают существо явлений с достаточной для практики точностью.
Динамика точки переменной массы, созданная трудами и талантом И. В. Мещерского, до наших дней остается наиболее полным и обстоятельным исследованием по теории движения тел переменной массы. В этой фундаментальной работе, кроме открытия исходных дифференциальных уравнений, рассмотрено большое число оригинальных частных задач и указаны общие методы, развитие которых даст, несомненно, ряд практически важных заключений о закономерностях движения ракет и реактивных самолетов. И. В. Мещерский по праву зачинатель нового раздела теоретической механики.
В магистерской диссертации Мещерского 1897 года впервые было дано корректное уравнение вертикального подъема ракеты, в котором были учтены и влияние силы тяжести, и аэродинамическое сопротивление воздуха. Но так как в тс годы в среде научной интеллигенции интерес к задачам теории движения ракет был весьма мал, то Мещерский ограничился рассмотрением движения ракеты в общем виде, без анализа и без привязки к конструктивным параметрам ракет. Это было сделано в трудах основателя теоретической космонавтики Константина Эдуардовича Циолковского, хотя в уравнениях Мещерского было все необходимое для создания вполне законченной динамики ракет.
Второй основополагающей работой И. В. Мещерского по динамике точки переменной массы является его статья "Уравнения движения точки переменной массы в общем случае", которая была опубликована в 1904 году в "Известиях" Петербургского политехнического института. Уравнения в диссертации Мещерского дают описание движения точки или для случая отделения частиц, или для случая присоединения частиц. Но можно указать большой класс задач, когда в процессе движения тела происходит не только отделение, но и одновременно и присоединение их. Так, например, в простейшем прямоточном воздушно-реактивном двигателе частицы воздуха присоединяются к движущемуся телу из атмосферы и затем отбрасываются вместе с продуктами горения из сопла реактивного двигателя. Газотурбинные реактивные двигатели, получившие весьма широкое применение на современных самолетах, точно так же берут частицы воздуха из атмосферы (частицы воздуха присоединяются к самолету, увеличивая его массу), а затем отбрасывают их с большой скоростью вместе с газообразными продуктами горения. Если на вращающийся вал наматывается цепь, то масса вала увеличивается; при сматывании цепи с вала его масса уменьшается; когда оба процесса идут одновременно, мы будем иметь общий случай вращения тела переменной массы.
Задачи механики, связанные с изучением движения тел, масса которых изменяется в результате одновременно происходящих процессов присоединения и отделения частиц, можно для весьма большого числа случаев охватить единой теорией. Такую единую теорию и создал Мещерский в своей работе 1904 года [2].
Иван Всеволодович Мещерский был выдающимся педагогом русской высшей технической школы. Особенно большое внимание он уделял постановке преподавания основного курса теоретической механики. Когда в 1902 году Иван Всеволодович стал руководителем кафедры теоретической механики в Петербургском политехническом институте, он имел уже вполне сложившуюся точку зрения на место и цели курса теоретической механики в высших технических учебных заведениях.
Основную идею Мещерского можно сформулировать так: в высшей технической школе курс теоретической механики должен быть теснейшим образом связан с курсами прикладной механики (кинематика и динамика механизмов, сопротивление материалов и др.). При выборе задач на практических занятиях особенное внимание должно быть обращено на то, чтобы задачи имели конкретную форму; студенты, решая эти задачи, должны приобрести умение и навыки применения основных теорем и методов теоретической механики к конкретным вопросам прикладного значения.
Теоретическая механика — научная основа важнейших разделов техники. Знание законов механики направляет и дисциплинирует творческую интуицию инженера. Удачные интуитивные инженерные догадки, инженерное "чутье" должны воспитываться в студенческие годы. Нужно научить будущего инженера стоять на твердой почве логики фактов, которые дает паука, и воспитать у него уверенность в бесконечном могуществе технического творчества, опирающегося на объективные законы науки.
Мещерский считал, что для подготовки высококвалифицированного и широкообразованного инженера нужно сосредоточить изучение фундаментальных дисциплин на первых двух курсах, а затем уже переходить к специализации. Такой вывод следовал из тщательного анализа постановки преподавания теоретической механики в высших технических учебных заведениях России и западноевропейских стран. "Математика, механика, физика и химия, — писал И. В. Мещерский, — в известном объеме, который может быть установлен, составляют основу всякого технического образования; приступая к изучению технической специальности, будущий инженер должен уже владеть этими предметами в указанном объеме".
Курс теоретической механики, написанный И. В. Мещерским, выдержал много изданий и, несомненно, способствовал подъему научного уровня преподавания механики в наших высших технических учебных заведениях.