Составные числа — это те, которые делимы не только сами на себя и на единицу, но также и на некоторые другие числа. Составными числами являются 9, 15, 21, 25, 27, 33, 39, 45, 51, 57 и так далее. Например, 21 делимо не только на себя и единицу, но также на 3 и 7.
Несоставные-составные числа — это числа, не имеющие общего делителя, хотя каждое из них делимо, такие как 9 и 25. Например, 9 делимо на 3 и 25 на 5, но ни одно из них не делимо на делитель другого. Таким образом, они не имеют общего делителя. Поскольку они имеют индивидуальные делители, они называются составными, а поскольку они не имеют общего делителя, они называются несоставными. Поэтому для описания этих свойств был придуман термин несоставные-составные.
Четные числа делятся на три класса: четно-четные, четно-нечетные и нечетно-четные.
Четно-четные числа представляют собой удвоения чисел, начиная с единицы. Таким образом, это 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512 и 1024. Доказательство совершенства четно-четных чисел состоит в том, что они могут делиться пополам, еще раз пополам и так далее до получения единицы. Так, 1/2 от 64 = 32; 1/2 от 32 = 16; 1/2 от 16 = 8; 1/2 от 8 = 4; 1/2 от 4 = 2; 1/2 от 2 = 1; за пределы 1 идти невозможно.
Четно-четные числа обладают некоторыми уникальными свойствами. Сумма любого числа терминов, кроме последнего, всегда равна последнему термину минус единица. Например, сумма первого и второго терминов (1+2) равна третьему термину (4) минус 1. Или же сумма четырех терминов (1 + 2 + 4 + 8) равна пятому термину (16) минус один.
Ряд четно-четных чисел имеет и такое свойство: первый член, умноженный на последний, дает последний; второй, умноженный на второй от конца, дает последний и так далее пока в ряду с нечетным числом терминов не останется одно число, которое, будучи умножено само на себя, даст последнее число в ряду. Например, ряд 1, 2, 4, 8. 16 — ряд с нечетным числом терминов. Первый термин, 1, будучи умножен на последний, дает последний, 16. Второй термин, 2, будучи умножен на предпоследний, 8, дает последний, 16. Оставшийся в середине термин, будучи умножен сам на себя, даст последний термин, 16.
Четно-нечетные числа — это те числа, которые, будучи разделены пополам, не делятся дальше пополам. Они образуются так: берется нечетное число, умножается на два. и так весь ряд нечетных чисел. В этом процессе нечетные числа 1, 3, 5, 7, 9, 11 дают четно-нечетные числа 2, 6, 10, 14, 18, 22. Таким образом, каждое четвертое число является четно-нечетным. Каждое такое число делится на 2 один раз и больше на 2 делиться не может. Так, при делении пополам 2 получаются две 1, при делении 6 получаются две 3, которые не могут далее делиться пополам.
Другая особенность четно-нечетных чисел состоит в том, что если делитель — нечетное число, частное всегда будет четным, а если делитель — четное число, частное будет нечетным. Например, если 18 делить на 2, четный делитель, частное 9 будет нечетно, или если 18 разделить на 3, частное 6 будет четным.
Четно-нечетные числа еще примечательны тем, что каждый термин в ряду является половиной суммы терминов по обе стороны его в ряду. Например, 10 есть половина суммы 6 и 14; 18 есть половина суммы 14 и 22; и 6 есть половина суммы 2 и 10.
Нечетно-нечетные числа или нечетно-четные являются компромиссом между четно-четными и четно-нечетными числами. В отличие от четно-четных они не могут последовательным делением пополам привести к 1, и в отличие от четно-нечетных они позволяют более чем однократное деление пополам. Нечетно-нечетные числа образуются умножением четно-четных, которые больше 2, на нечетные числа больше 1.
![]()
Из книги Т. Тэйлора «Теоретическая арифметика»
РЕШЕТО ЭРАТОСФЕНА
Решето — это математический прием, придуманный Эратосфеном около 230 г. до P. X. для отделения составных от несоставных нечетных чисел. Этот прием чрезвычайно прост в использовании, как только освоен. Все нечетные числа упорядочиваются по величине, как показано на второй снизу таблице, которая названа нечетные числа. Из таблицы видно, что каждое третье число, начиная с 3, делится на 3. Далее, каждое пятое число дели гея на 5. каждое седьмое число делится на 7, каждое девятое число делится на 9 и так далее до бесконечности. Этот процесс отсеивает то, что пифагорейцы называли простыми числами, то есть такими, которые не имеют других делителей, кроме 1 и самих себя. Они приведены на нижней таблице, называемой первичные и несоставные числа. В своей «Истории математики» Дэвид Смит говорит, что Эратосфен был одним из величайших мыслителей Александрии, и восхищенные поклонники называли его вторым Платоном. Эратосфен обучался в Афинах и был известен не только как автор «решета», но и как человек, вычисливший очень остроумным методом диаметр и окружность Земли. Его оценка диаметра расходится с современными данными всего лишь на 50 миль. Эти и другие достижения Эратосфена неоспоримо свидетельствуют о том. что в III веке до н. э. греческие математики знали не только о шарообразности Земли, но могли с большой точностью оценить ее размер и ее удаленность от Солнца и Луны. Аристарх Самосский, другой великий греческий астроном и математик, живший около 250 г. до P. X., с помощью философской дедукции, а также нескольких простых инструментов установил, что Земля вращается вокруг Солнца. Хотя Коперник верил, что он открыл этот факт, на самом деле он лишь установил то, что было известно семнадцатью веками ранее.
Нечетные числа больше одного — это 3, 5, 7, 9, 11 и так далее. Четно-четные числа больше 2 — это 4, 8, 16, 32, 64 и так далее. Первое нечетное число в ряду, 3, умножается на 4, первое четно-четное число в ряду, и получается 12, первое нечетно-нечетное число. Умножением 5, 7, 9, 11 и так далее на 4 получаются нечетно-нечетные числа. Другие нечетно-нечетные числа получаются умножением 3, 5, 7, 9, 11 и так далее на другие четно-четные числа 8, 16, 32, 64 и так далее по очереди. Например, деление пополам нечетно-нечетного числа дает следующее: 1/2 от 12 = 6, 1/2 от 6 = 3, которое дальше не может быть разделено пополам, поскольку пифагорейцы не делили 1.
Четные числа разделяются на три других класса: сверхсовершенные, несовершенные и совершенные.
Сверхсовершенные или сверхизобилъные числа — это такие, сумма дробных частей которых больше их самих. Например, 1/2 от 24 = 12,1/4 = 6, 1/3 = 8, 1/6 = 4, 2 = 1/12 и 1/24 = 1. Сумма этих частей 12 + 6 + 8 + 4 + 2 + 1 = 33, что превышает 24, исходное число.
Несовершенное число — это такое число, сумма дробных частей которого меньше его самого. Например, 1/2 от 14 = 7; 1/7 = 2 и 1/14 = 1. Сумма этих частей 7 + 2 + 1 = 10, что меньше 14, исходного числа.
Совершенное число — это такое число, сумма дробных частей которого равна самому числу. Например, 1/2 от 28 = 14, 1/4 = 7, 1/7 = 4, 1/14 = 2 и 1/28 = 1. Сумма этих частей 14 + 7 + 4 + 2+ 1 = 28.
Совершенные числа чрезвычайно редки. Есть только одно число между 1 и 10, а именно 6; одно между 10 и 100, а именно 28; одно между 100 и 1000, а именно 496; и одно между 1000 и 10 000, а именно 8128. Совершенные числа находят следующим образом: первое число четно-четного ряда (1, 2, 4, 8, 16, 32 и так далее) складывается со вторым числом ряда, и если получается простое число, оно умножается на последнее число ряда четно-четных чисел, участвовавшее в образовании суммы. Например, первое и второе числа четно-четного ряда — это 1 и 2. Их сумма равна 3, которое является несоставным. Если 3 умножить на 2, последнее число ряда, участвовавшее в образовании 3, получается 6, первое совершенное число. Если же сложение четно-четных чисел не приводит к несоставному числу, нужно добавить еще одно число из этого ряда до получения несоставного числа. Второе совершенное число получается так: сумма четно-четных чисел 1, 2 и 4 равна 7, несоставному числу. Если 7 умножить на 4, последнее в ряду четно-четных чисел, использовавшихся при получении 7, то произведение будет равно 28, второму совершенному числу. Этот метод получения совершенных чисел может вести к сколь угодно большим числам.
