которое в телах равной величины должно возрастать со скоростью движения, поскольку посредством этой скорости равновеликие тела в равное время больше отделяются от непосредственно прилегающих тел, чем при более медленном движении, и потому (по опр. 8) обладают бо́льшим движением. Напротив, в покоящихся телах под силой сопротивления понимают количество покоя. Отсюда следует:
Королларий 1. Чем медленнее движутся тела, тем более они причастны покою, ибо они более сопротивляются встречным телам, движущимся быстрее и имеющим силу меньшую, чем они сами, а также менее отделяются от непосредственно прилегающих тел.
Королларий 2. Если тело А движется вдвое скорее тела В, а В вдвое больше А, то в большем В столько же движения, как в меньшем А, следовательно, сила в обоих одинакова.
Доказательство. Если В вдвое больше А, а А движется вдвое скорее В и далее С вдвое меньше В и движется вдвое медленнее А, то (по т. 21, ч. II) В будет иметь вдвое большее движение и (по т. 22, ч. II) А – вдвое большее движение, чем С, следовательно (по акс. 15), А и В будут иметь равное движение, так как движение обоих вдвое больше С, что и требуется доказать.
Королларий 3. Отсюда следует, что движение отлично от скорости. Ибо очевидно, что из двух тел, имеющих равную скорость, одно может иметь вдвое большее движение, чем другое (по т. 21, ч, II), и, наоборот, тела с неравной скоростью могут иметь равное движение (по предыдущему королларию). Впрочем, это очевидно также из простого определения движения, так как оно представляет лишь перенос тела из соседства и т. д.
Однако здесь надо заметить, что этот третий королларий не противоречит первому. Ибо скорость можно понимать двояким образом: или по тому, как одно тело более или менее отделяется от непосредственно прилегающего тела в равное время и поэтому более или менее участвует в покое или движении, или по тому, как оно в равное время описывает бо́льшую или меньшую линию и постольку отличается от движения.
Я мог бы здесь прибавить еще другие теоремы, чтобы лучше выяснить т. 14, ч. II и объяснить силы вещей во всяком состоянии, как это сделано здесь относительно движения. Но достаточно перечитать § 43, ч. II «Начал» и прибавить здесь лишь одну теорему, необходимую для понимания следующего.
Теорема 23
Если модусы какого-либо тела принуждены испытать перемену, то эта перемена всегда будет наименьшей.
Доказательство. Эта теорема довольно очевидно вытекает из теоремы 14, ч. II.
Теорема 24
Первое правило
Если два тела, например А и В (см. фиг. 1), вполне равны друг другу и движутся друг к другу с равной скоростью, то при встрече их каждое отразится в противоположную сторону, не теряя своей скорости.
В этом предположении ясно, что для устранения противоположности этих двух тел или оба они должны отразиться в противоположном направлении, или одно должно увлечь за собой другое, так как они противоположны друг другу не в отношении движения, а лишь направления.
Доказательство. Если А и В сталкиваются, то они должны испытать некоторое изменение (по акс. 19). Но так как одно движение не противоположно другому (по кор. к т. 19, ч. II), то они нисколько не должны терять свое движение (по акс. 19). Поэтому изменение коснется лишь направления. Но нельзя себе представить, что меняется лишь направление одного из этих тел, например В, в том случае, если А, от которого оно должно получить изменение, не будет предположено сильнее В (по акс. 20). Но последнее было бы противно допущению. Поэтому если перемена направления может произойти лишь у одного тела, то она произойдет у обоих, причем А и В отразятся в противоположном направлении (по изложенному в «Диоптрике», гл. 2), но сохранят все свое движение, что и требовалось доказать.
Теорема 25
Второе правило
Если оба тела неравны по своей массе, именно В больше А (см. фиг. 1), остальные же предложенные условия остаются прежними, то отразится лишь А, и оба тела будут продолжать движение с равной скоростью.
Доказательство. Поскольку А предполагается меньше В, то оно имеет также меньшую силу, чем В (по т. 21, ч. II). Но так как при этом предположении, так же как и в предыдущем, противоположны лишь направления и потому, как показано в предыдущей теореме, изменение может касаться только направления, то оно произойдет только в А, а не в В (по акс. 20); поэтому только А будет отражено более сильным В в противоположном направлении, не теряя, однако, нисколько своей скорости, что и требовалось доказать.
Теорема 26
Если тела различны как по своей массе, так и по скорости, именно В вдвое больше А (см. фиг. 1), но движение А вдвое скорее В, а в остальном все остается по-прежнему, то оба тела отразятся в противоположном направлении и каждое удержит прежнюю скорость.
Доказательство. Так как А и В, по предположению, движутся друг против друга, то в одном столько же движения, как и в другом (по кор. к т. 22, ч. II). Поэтому движение одного не противоречит движению другого (по кор. к т. 19, ч. II) и силы обоих равны (по кор. 2 к т. 22, ч. II). Таким образом, это предположение совершенно подобно предположению т. 24, и потому, согласно предыдущему доказательству, А и В отразятся в противоположном направлении, и каждое при этом сохранит всю свою скорость, что и требовалось доказать.
Королларий. Из трех последних теорем очевидно, что направление тела требует для своей перемены столько же силы, как изменение движения. Отсюда следует, что тело, теряющее более половины своего определения следовать в данном направлении и более половины своего движения, испытывает бо́льшую перемену, чем тело, теряющее все свое определение.
Теорема 27
Третье правило
Если два тела равны по массе, но В движется немного скорее А, то не только А отразится в противоположном направлении, но и В перенесет на А половину своего излишка скорости, и оба будут продолжать движение с равной скоростью в одном направлении.
Доказательство. А (по допущению) противоположно В не только по своему направлению, но и по медленности, поскольку последняя причастна покою (по кор. к т. 22, ч. II). Поэтому простым отражением в противоположном направлении изменяется только направление, но не устраняется вся противоположность обоих тел. Следовательно (по акс. 19), перемена должна наступить как в направлении, так и в движении, и так как В по допущению движется скорее А, то В (по т. 22, ч. II) сильнее А, и потому