Рассмотрим теперь вычитание векторов. Можно определить вычитание тем же способом, что и сложение, но вместо того, чтобы складывать, будем вычитать составляющие. Можно также определить вычитание как сложение с отрицательным вектором -b=(-1)b. Результат будет тот же.
Вычитание векторов показано на фиг. 11.5.
Фиг.11,5. Вычитание векторов.
На этом чертеже изображено
d=а-b=а+(-b); заметим также, что, зная векторы а и b, разность а-b можно легко найти из эквивалентного соотношения а=b+d. Таким образом найти разность векторов даже легче, чем сумму: просто нужно провести вектор, соединяющий b и а, и вы получите а-b!
Перейдем теперь к скорости. Почему скорость есть вектор? Если координаты точки равны х, у, z, то скорость ее равна dx/dt, dy/dt, dz/dt. Вектор это или не вектор? Дифференцируя выражение (11.5), можно найти закон преобразования dx'ldt. Видно, что величины dx/dt, dy/dt преобразуются по тому же закону, что и х и у. Таким образом, скорость есть вектор. Выражение для скорости можно записать очень интересно:
v=dr/dt.
Постараемся нагляднее представить себе, что такое скорость и почему она вектор. Далеко ли продвинется частица за малое время Dt? Ответ: на Dr, т. е. если частица находится «здесь» в первое мгновение, а «там» — во второе, то векторная разность положений частицы равна вектору Dr=r2-r1. расположенному вдоль направления движения. Как это выглядит, показано на фиг. 11.6. Если разделить этот вектор на промежуток времени Dt = t2-t1, то мы получим вектор «средней скорости».
Иначе говоря, под вектором скорости мы понимаем предел разности радиус-векторов, соответствующих моментам t+Dt и t, деленной на Dt при Dt, стремящемся к нулю:
Скорость есть вектор постольку, поскольку она равна разности двух векторов. Это верно также и потому, что составляющие этого вектора равны dx/dt, dy/dt, dz/dt. Подумав над тем, что сейчас было проделано, мы придем к выводу, что, продифференцировав любой вектор по времени, мы снова получим какой-то новый вектор. Таким образом, имеется несколько способов получать новые векторы: 1) умножая вектор на постоянное число; 2) дифференцируя вектор по времени; 3) складывая два вектора или вычитая.
§ 6. Законы Ньютона в векторной записи
Чтобы записать законы Ньютона в векторной форме, мы должны поучиться еще кое-чему и определить вектор ускорения. Этот вектор равен производной по времени вектора скорости, причем легко показать, что его составляющие равны вторым производным х, у и z no t:
После этого законы Ньютона можно записать таким образом: или ma = F, (11.13)
m(d2r/dt2)=F (11.14)
Фиг. 11.6. Перемещение частиц за малое время Dt=t2-t1,.
Теперь задача о доказательстве инвариантности законов Ньютона относительно вращений сводится к следующему: нужно доказать, что а (ускорение) есть вектор; это мы уже сделали. Затем нужно доказать, что F (сила) есть вектор; это мы предполагаем. Следовательно, если сила есть вектор, то уравнение (11.13) будет выглядеть одинаково во всех системах координат, ибо нам известно, что ускорение тоже вектор. Запись уравнений в виде, не содержащем явно х, у, z, привлекательна тем, что нам нет необходимости выписывать три уравнения каждый раз, когда мы хотим написать законы Ньютона или другие законы физики. Мы записываем то, что выглядит как один закон, хотя фактически, конечно, это три закона для каждой оси системы координат, потому что любое векторное уравнение содержит в себе утверждение, что все составляющие равны.
Тот факт, что ускорение — это скорость изменения вектора скорости, помогает найти ускорение в любых, казалось бы, трудных обстоятельствах. Предположим, например, что частица, двигаясь по какой-то сложной кривой (фиг. 11.7), имеет в момент t1скорость v1, а несколько позже, в момент t2,скорость v2. Чему равно ускорение? Ответ: ускорение равно разности скоростей, деленной на малый промежуток времени; значит, нужно знать разность скоростей. Как же найти эту разность? Чтобы найти разность двух векторов, проведем вектор через концы векторов v2 и v1, иначе говоря, начертим вектор D в качестве разности этих двух векторов. Верно? Нет! Мы можем поступать так только тогда, когда начала векторов расположены в одной точке! Вычитать векторы, приложенные к разным точкам, бессмысленно. Остерегайтесь этого! Чтобы вычесть векторы, нужно начертить другую схему. На фиг. 11. 8 векторы v1 и v2 перенесены параллельно и равны их двойникам, изображенным на фиг. 11.7.
Фиг. 11 .7. Криволинейная траектория.
Фиг. 11.8, Диаграмма для вычисления ускорения.
Теперь можно поговорить об ускорении. Ускорение, конечно, просто равно Dv/Dt. Интересно заметить, что разность скоростей можно разделить на две части: можно представить себе, что ускорение состоит из двух составляющих: Dv║ — вектора, параллельного касательной к пути, и вектора Dv┴, перпендикулярного к этой касательной. Эти векторы показаны на фиг. 11.8. Касательное к пути ускорение равно, естественно, лишь изменению длины вектора, т. е. изменению величины скорости v:
a║=dv/dt. (11.15)
Другую, поперечную составляющую ускорения легко вычислить, взглянув на фиг. 11.7 и 11.8. За короткое время Dt изменение угла между v1 и v2 равно малому углу Dq. Если величина скорости равна v, то
Dv┴=vDq, а ускорение а равно
а┴=v(dq/dt).
Теперь нам нужно знать Dq/Dt. Эту величину можно найти так: если в данный момент кривую можно приблизительно заменить окружностью радиусом R, то, поскольку за время Dt частица пройдет расстояние s=vDt,изменение угла равно
Dq=v(Dt/R) или Dq/Dt=v/R.
Таким образом, как мы уже установили ранее,
a=v2/R. (11.16)
§ 7. Скалярное произведение векторов
Давайте еще немного займемся свойствами векторов. Легко понять, что длина шага в пространстве одинакова во всех координатных системах. Следовательно, если какому-то шагу r соответствуют составляющие х, у, z в одной системе координат и составляющие х', у', z' в другой системе, то расстояние r= |r| одно и то же в обеих системах. Сначала мы, конечно, должны ввести два расстояния
а затем проверить, что эти обе величины равны. Чтобы не возиться с квадратным корнем, будем сравнивать квадраты расстояний. Мы должны, таким образом, показать, что
x2+у2+ z2=x'2+у'2+ г'2. (11.17)
Подставив в это уравнение определяемые соотношением (11.5) значения ж', у', z', мы увидим, что это действительно так. Значит, кроме уже изученных нами векторных уравнений, существуют еще какие-то соотношения, верные в любой системе координат.
Незаметно мы получили новый тип величин. Мы можем построить функцию х, у и z, называемую скалярной функцией,— величину, которая не имеет направления, и одинакова в обеих системах координат. Из вектора можно построить скаляр. Хорошо бы найти общее правило для этого построения. Собственно говоря, мы уже нашли это правило: надо возвести в квадрат каждую из составляющих вектора и сложить их. Определим теперь новую величину, которую обозначим а·а. Это не вектор, а скаляр; это число, одинаковое во всех координатных системах и определяемое как сумма квадратов трех составляющих вектора:
a·a=a2x+ a2y+a2z. (11.18)
Вы спросите: «В какой системе координат?» Но раз это число не зависит от системы координат, то ответ одинаков в любой системе координат. Мы имеем дело с новым видом величины, с инвариантом, или скаляром, полученным «возведением вектора в квадрат». Если теперь определить, исходя из векторов а и b, величину
a·b=axbx+ayby+ azbz, (11.19)