Судя по табл. 6.3, уровень автокорреляции (АС) между исходными уровнями временного ряда US Dollar 1 постоянно убывает, начиная с первого лага. В свою очередь уровень частной корреляции (РАС) резко снижается уже после первого лага, а после второго лага осциллирующим образом стремится к нулю (фактически колеблется вокруг нуля). Если мы хотим построить модель авторегрессионного процесса AR(p), то для определения оптимального числа р мы должны использовать частную автокорреляционную функцию. При этом следует исходить из следующего критерия: оптимальное число р в уравнении авторегрессии должно быть меньше лага, в котором частная автокорреляционная функция начинает стремиться к нулю. Судя по коррелограмме, помещенной в табл. 6.3, коэффициент частной автокорреляции для лага в один месяц (или лага 1-го порядка) равен 0,967, а для лага в два месяца (или лага 2-го порядка) = 0,005. Причем начиная с этого лага величина коэффициента колеблется вокруг нулевого уровня. Следовательно, можно сделать вывод, что для прогнозирования курса доллара с помощью модели авторегрессии необходимо использовать модель AR(1), которая примет следующий вид:
Yt =c + b1Yt-1 +et. (6.1)
В свою очередь при идентификации авторегрессионной модели со скользящей средней модели ARMA(p, q) в качестве р выбирается лаг, после которого начинает убывать частная автокорреляционная функция, а в качестве q выбирается лаг, после которого начинает убывать автокорреляционная функция. Исходя из табл. 6.3 можно легко прийти к выводу, что коэффициент автокорреляции начинает убывать уже с лага 2-го порядка. Аналогичный вывод можно сделать и относительно коэффициента частной автокорреляции. Поэтому для прогнозирования курса доллара с помощью модели авторегрессии со скользящим средним в остатках можно использовать модель ARMA(1, 1), которая примет следующий вид:
Однако попробуем обойтись меньшим числом параметров, а потому сначала будем использовать авторегрессионную модель AR(1) согласно формуле (6.1). После того как в эту формулу вместо Y будет вставлено логарифмированное значение курса USDollar, оно приобретет следующий вид:
log(USDollar) = с + а × log(USDollar(-l)) + е. (6.3)
Однако для ввода в EViews следует использовать эту формулу в понятном для программы виде:
log(USDollar) log(USDollar(-l)) с. (6.4)
При этом целесообразно использовать для создания переменных файл USDollar, т. е. файл с исходным временным рядом (с данными за период с июня 1992 г. по июнь 2010 г.), поскольку в этом случае мы сможем получить в EViews прогноз в исходном, а не в логарифмическом виде (рис. 6.4).
Таким образом, мы получили следующий вывод данных по итогам решения уравнения авторегрессии log(USDollar) = с + а × log(USDollar(-l)) (табл. 6.4). При этом нетрудно увидеть, что все коэффициенты в этом уравнении регрессии оказались статистически значимыми (поскольку Prob., т. е. уровень их значимости, оказался равен нулю). После замены букв найденными коэффициентами это уравнение в логарифмическом виде приобретет следующий вид:
log(USDollar) = 0,103059 + 0,969092 × log(USDollar(-l)). (6.5)
Однако интерпретация формулы (6.5) не столь очевидна, поскольку она относится к логарифмическому ряду, поэтому с помощью потенцирования этой формулы можно перейти от логарифмов к исходному временному ряду. Поскольку в EViews при логарифмировании исходного временнoго ряда используются натуральные логарифмы, в основании которых лежит е = 2,718281…, формулу (6.5) можно преобразовать следующим образом:
EXP(log(USDollar)) = EXP (0,103059) + (EXP 0,969092 × log(USDollar(-l))). (6.6)
В частности, новое значение свободного члена (константы) в формуле (6.6) легко найти в Excel с помощью функции ЕХР(0,103059) = 1,1085568. В результате исходная линейная функция с константой 6.5, решенная относительно логарифмического временнoго ряда, станет степенной функцией с константой, которую можно применять относительно исходного временнoго ряда:
USDollar = 1,1085568 × USDollar(-l)^0,969092. (6.7)
При этом интерпретация формулы (6.7) будет следующей: рост на 1 % курса доллара в текущем месяце в среднем способствовал повышению курса доллара в прогнозируемом месяце на 0,969 % при исходном уровне курса доллара, равном 1,1086 рублей.
Проверим полученную статистическую модель на наличие автокорреляции в остатках. Для проверки будем использовать алгоритм действий № 7 «Как выполняется LM-тест Бройша — Годфри в EViews». Для выполнения теста в диалоговом мини-окне LAG SPECIFICATION (лаговая спецификация) нужно установить 1, поскольку в нашем уравнении авторегрессии есть только одна факторная переменная с одним лагом (см. формулу (6.5)). Поскольку величина задаваемого лага определяется для модели ARMA(p, q) = mах(р, q), то в этом случае она приобретает следующий вид: ARMA(1, 0) = max(l, 0) = 1.
По результатам проведения этого теста получилась табл. 6.5, из которой следует, что наблюдается автокорреляция в остатках. Об этом свидетельствует нулевой уровень значимости как основного критерия теста Obs х R-squared (Наблюдения × R2), так и дополнительного — F-statistic (F-критерия).
Чтобы устранить автокорреляцию в остатках, необходимо изменить спецификацию статистической модели. С этой целью попробуем использовать для прогнозирования курса доллара модель авторегрессии со скользящим средним в остатках ARMA(1,1) (см. формулу (6.2)). Однако ввести в EViews эту формулу необходимо в следующем виде:
log(USDollar) с log(USDollar(-l)) МА(1), (6.8)
где с — константа;
log(USDollar(-l)) — логарифм от переменной с лагом в один месяц;
МА(1) — представляет собой скользящую среднюю первого порядка.
При этом следует иметь в виду одну тонкость: в опциях диалогового мини-окна EQUATION ESTIMATION (оценка уравнения) по умолчанию устанавливается параметр BACKCAST МА TERMS (рекурсивное вычисление предыдущей ошибки в МА-процессе). В этом случае значение предыдущей ошибки (отклонения прогноза от фактического курса доллара в прошлом месяце) для точечного прогноза по первому наблюдению находится рекурсивным методом (см. ввод этой опции на рис. 6.5).
Если в параметре BACKCAST МА TERMS убрать «галочку», значение прошлой ошибки в точечном прогнозе для первого наблюдения приравнивается нулю, поскольку оно на тот момент отсутствует. В свою очередь в случае применения в статистической модели скользящей средней второго порядка прошлые ошибки при прогнозировании не только первого, но и второго наблюдений либо приравниваются нулю, либо вычисляются рекурсивным методом.