При изучении жизни с математической точки зрения по возможности предполагается, что изучаемое явление имеет так называемое линейное поведение. Линейные системы изучать проще всего, так как их общее состояние или поведение на математическом языке описывается как сумма состояний или поведений частей такой системы. Представим себе примитивное живое существо (назовем его z), настолько простое, что оно имеет всего два органа — х и у. Если мы обозначим физиологические состояния х и у через f(х) и f(у), то жизненное состояние организма f(z) будет равно сумме состояний его органов: f(х) + f(у). В стационарном состоянии производная f(z) будет равна 0. Иными словами, математическая функция, описывающая жизненное состояние организма, не будет ни возрастать, ни убывать.
Линейные системы проще всего изучать с математической точки зрения.
Математическое изучение линейных систем связано с комплексным и органицистическим представлением о жизни Карла Людвига фон Берталанфи. Это представление, которое имеет отношение не только к биологии, но и к другим дисциплинам, описано в статье, опубликованной в 1968 году под названием «Общая теория систем: основы, развитие, применение» (General System Theory: Foundations, Development, Applications). По сути, эта теория оказала огромное влияние на то, как ученые используют компьютер для моделирования, то есть воссоздания, описания и прогнозирования столь разных явлений, как климат, метаболизм, жизнь клеток или поведение финансовых рынков. Система — это множество реально существующих объектов (частей или элементов системы) и абстрактных переменных, атрибутов, свойств и, что более важно, связей и взаимоотношений между этими элементами.
Важный момент теории систем фон Берталанфи заключается в том, что части системы взаимодействуют между собой, а сами системы являются незамкнутыми и взаимодействуют с окружающей средой. При этом из среды в систему поступает входная информация, результатом обработки или преобразования которой является ответ системы, или выходная информация, поступающая обратно в среду. Такие понятия, как саморегулирование и обратная связь, баланс и гомеостаз, в этой модели возникают естественным образом.
Глобальное видение природы, в которой система рассматривается как «всё», известно как холизм. В XX веке холизм оказал огромное влияние на то, как мы видим мир. Это влияние проявилось не только в биологии, но и в социологии, экономике, химии и даже лингвистике. Холизм повлиял и на способы применения математики для изучения реального мира. В экологии он был введен школой северо-американских экологов во главе с Говардом Одумом. В 1950-е годы Одум радикально изменил методы изучения всех проблем, связанных с окружающей средой, что вызвало появление системной биологии. В рамках этой дисциплины ученые рассматривают любое биологическое явление с холистической точки зрения и описывают событие посредством математической модели. К примеру, одна из классических моделей этой дисциплины — первая модель органа, созданная с помощью компьютера, а именно модель сердца, представленная Денисом Ноблом в 1960 году в журнале Nature. Этот британский исследователь сыграл важную роль в международном проекте Physiome, начатом в 1990-е годы, целью которого была расшифровка генома — совокупности генов организма. Расшифровка производилась с помощью компьютерного моделирования с использованием математических моделей физиологии.
Веб-страница одного из множества учреждений, связанных с проектом Physiome в сфере системной биологии.
Одной из особенностей проекта была интеграция разных уровней, начиная от биохимии и отдельных клеток и заканчивая целыми органами. Любопытная черта системной биологии заключается в том, что в этой дисциплине проекты реализуются междисциплинарными рабочими группами с участием биологов, физиков, математиков, информатиков и других специалистов. Противоположным подходом является редукционизм, который довольно долго применялся в биологии под влиянием многочисленных успехов молекулярной биологии. Прогресс в этой дисциплине привел к тому, что математическая биология на некоторое время ушла в тень, как и любые попытки «заняться математикой жизни». И все же накопление экспериментальных данных молекулярной биологии, а также удивительные успехи в изучении генов, белков и метаболизма во второй половине XX века привели к появлению геномики, протеомики и метаболомики — трех новых дисциплин, которые быстро начали набирать популярность во всем мире. Это заставило вновь вспомнить о системной биологии, а вместе с ней — и об изучении жизни количественными методами. Системная биология вновь вошла в моду лишь в конце XX столетия, и одновременно с этим вновь пробудился интерес к математической биологии.
1970-е — время перемен
В 1970-х годах ученые начали принципиально иначе рассматривать биологические явления, изменилась и «математика жизни». Решающее влияние на этот процесс оказали идеи Ильи Романовича Пригожина, лауреата Нобелевской премии по химии 1977 года. Согласно его теории диссипативных структур, системы, которые непрерывно обмениваются материей и энергией с окружающей средой (к ним относятся сложные химические реакции или ураганы), функционируют благодаря тому, что далеки от равновесного состояния. Одной из характеристик диссипативных систем является образование сложных структур, которые порой кажутся хаотичными. Эта особенность привлекла внимание ученых, вновь пересмотревших решения классических задач биологии. Биоматематики вернулись к давно известным проблемам, интерпретировав их в соответствии с теориями Пригожина. В качестве примера можно привести узоры, изученные Тьюрингом. По мнению ученого, однородная ткань, состоящая из очень похожих друг на друга зародышевых клеток, например клеток кожи позвоночных, находится в равновесном состоянии. Но как только между клетками начинают возникать отличия, на шкуре животного проявляется узор из полосок или пятен. Сохранение этого узора в течение всей жизни животного Тьюринг и Пригожин трактовали как ситуацию, далекую от равновесного состояния. Как следствие, уравнения реакции — диффузии стали одним из основных формальных инструментов, которые позволили биоматематикам изучить некоторые диссипативные системы, например уже упомянутые узоры на шкуре некоторых позвоночных.
Бельгийская марка, выпущенная в честь Ильи Пригожина (1917–2003) за два года до смерти этого выдающегося русского ученого.
Еще одной характеристикой систем, далеких от равновесного состояния, являются их колебания. В качестве примера приведем знаменитые уравнения «хищник — жертва» Лотки — Вольтерры. К сожалению, не существует универсальных принципов, управляющих формированием описанных узоров в диссипативных системах. Однако если система находится в равновесии, образования узоров не происходит. К примеру, трехмерное представление белка всегда остается неизменным. Почему? Ответ прост: белок находится в наиболее стабильном состоянии, требующем минимальных энергозатрат. Еще один пример системы, находящейся в равновесном состоянии, — химическая реакция:
А + В —> С + D.
Если вещества А и В преобразуются в С и D с той же скоростью, что С и D преобразуются обратно в А и В, то реакция находится в равновесном состоянии. Предположим, что равновесие оказалось нарушено. Если скорость, с которой вещества А и В преобразуются в С и D, не равна скорости протекания обратного процесса, реакция будет находиться в неравновесном состоянии. Общих правил, описывающих неравновесные, диссипативные системы, не существует, как и общего математического метода их изучения, поэтому используется компьютерное моделирование — особенно полезное с учетом того, что в жизни встречается множество примеров диссипативных систем. Описанные выше идеи постепенно сформировали современное видение биологии и, как следствие, способствовали ее математической формализации.
Современная математическая биология
Изучение систем, находящихся в неравновесном состоянии, и поиск вычислительных методов, позволяющих смоделировать подобные системы, стали популярны в 1980-е и 1990-е годы при изучении нелинейных систем, то есть систем, поведение которых нельзя представить как сумму поведений их частей. Основная причина этого в том, что части нелинейных систем взаимодействуют друг с другом. Вновь рассмотрим примитивный живой организм z и предположим, что он имеет всего два органа — х и у. Если поведение этого организма нелинейное, то жизненное состояние организма f(z) будет равно, к примеру, произведению, а не сумме состояний его органов f(х) и f(у). В качестве примера из повседневной жизни можно привести прием лекарств.