Таким образом, построив соответствующие графики в EViews и Excel, мы выяснили, что временной ряд, характеризующий динамику ежемесячного курса доллара, является нестационарным, поскольку в нем наблюдается ярко выраженный тренд. Вместе с тем, как уже говорилось ранее, нестационарный временной ряд содержит не только тренд, но и случайную компоненту. Следовательно, чтобы сделать адекватный прогноз по курсу доллара, необходимо учесть как тренд, так и случайную компоненту, поскольку оба эти фактора существенно влияют на динамику валюты.
Схематично наша дальнейшая работа, которой посвящены последующие главы этой книги, будет заключаться в следующем. Во-первых, нужно составить уравнение регрессии, с помощью которого можно будет делать прогнозы с необходимой точностью. Во-вторых, необходимо протестировать полученное уравнение регрессии (прогностическую модель) на его адекватность с точки зрения прогностических качеств. В-третьих, надо составить точечные прогнозы по курсу американской валюты, используя полученную математическую модель. В-четвертых, нужно удостовериться в приемлемой точности составленных точечных прогнозов. В-пятых, необходимо убедиться, что получившиеся в результате отклонения фактического курса доллара от его предсказанных (расчетных) значений представляют собой стационарный ряд. В-шестых, надо посмотреть, является ли распределение остатков нормальным, что позволит впоследствии составить интервальные прогнозы — с учетом диапазона отклонений точечных прогнозов от фактического курса доллара — с определенным уровнем надежности. В-седьмых, нужно проверить, соответствует ли точность интервальных прогнозов заданному уровню надежности. В-восьмых, научиться применять полученную статистическую модель для составления рекомендуемых цен покупки и продажи валюты, используемых в качестве стоп-приказов при работе на валютном рынке. Выполнение всех этих процедур будет сопровождаться подробным рассказом о том, как их можно выполнить в Excel или EViews, что поможет читателям впоследствии самостоятельно решать эти задачи.
Контрольные вопросы и задания1. Чем отличаются строго стационарные процессы от стационарных процессов в широком смысле?
2. Может ли стационарный процесс иметь тренд или какие-либо строго периодические колебания?
3. Чем нестационарный процесс отличается от стационарного? Может ли у нестационарного процесса быть тренд?
4. Если мы пришли к выводу о нестационарности временного ряда, что можно сказать об устойчивости его средней, дисперсии и автоковариации? Дайте определение средней, дисперсии и автоковариации.
Глава 2
Метод наименьших квадратов и решение уравнения регрессии в Excel
2.1. Характеристика метода наименьших квадратов и его применение при прогнозировании курса доллара
Как выяснено в главе 1, динамика курса валют представляет собой временной ряд, имеющий не только тренд, но и случайную компоненту, поэтому в качестве метода оценки параметров прогностической модели, как правило, используется регрессионный анализ. Как известно, задачей регрессионного анализа является определение аналитического выражения (математической формулы), аппроксимирующего связь между зависимой переменной Y (ее называют также результативным признаком) и независимыми (их называют также факторными) переменными Х1, Х2,…, Хn. При этом форма связи результативного признака Y с факторами Х1, Х2,…, Хn, либо с одним фактором X получила название уравнения регрессии. В качестве метода аппроксимации (приближения) в уравнении регрессии используется метод наименьших квадратов (МНК), который минимизирует сумму квадратов отклонений фактических значений Y от его предсказываемых значений, рассчитанных по определенной математической формуле. Причем решение уравнения регрессии относительно интересующих нас переменных у (курс доллара) и х (время или порядковый номер месяца), по сути, заключается в подборе прямой линии к совокупности пар данных, характеризующих динамику курса доллара и соответствующие порядковые номера месяцев. При этом линию, которая лучше всего подойдет к этим данным, выбирают так, чтобы сумма квадратов значений вертикальных отклонений зависимой переменной (фактического курса доллара) от линии, рассчитанной по уравнению регрессии (предсказанный курс доллара), была минимальной.
Математические подробности оценки параметров уравнения регрессии методом наименьших квадратовВ самом общем виде формулу МНК можно представить следующим образом:
Для отыскания параметров а и b, при которых функция j(a, b) принимает минимальное значение, необходимо найти частные производные по каждому из параметров этой функции а и b и приравнять их к нулю. Если Σe2 обозначить через S, то в результате мы получим систему нормальных уравнений МНК для прямой:
Преобразовав систему уравнений (2.1.2), получим:
Решив систему уравнений (2.1.3) методом последовательного исключения переменных, найдем следующие оценки параметров:
С помощью оцененного таким образом уравнения регрессии можно предсказать, как в среднем изменится признак Y в результате роста факторов Х1, Х2,…..Xt, (или одного фактора X).
В зависимости от того, какая математическая функция используется для прогнозирования результирующей переменной У, различают линейную и нелинейную регрессию. При этом в основе линейной регрессии лежит уравнение линейного тренда, а в основе нелинейной регрессии — целое семейство уравнений нелинейных трендов (полиномиальный второй, третьей и прочих степеней, степенной, экспоненциальный и др.). В случае если результативный признак Y зависит от одного фактора Z, то такое уравнение регрессии называется парным, а если Y зависит от нескольких факторов Х1, Х2,…. Xt, — то уравнением множественной регрессии.
Практически в любом учебнике по общей теории статистики и по эконометрике можно более подробно познакомиться со спецификой уравнений регрессии[2]. Существуют формулы, по которым можно самостоятельно найти параметры как уравнения линейной регрессии, так и различных видов уравнений нелинейной регрессии. Однако с внедрением в широкую практику компьютеров и соответствующих компьютерных программ уже нет необходимости оценивать параметры уравнения регрессии вручную, тем более что это процесс довольно трудоемкий.