243.
Доказательство того, что вы либо непоследовательны, либо самонадеянны.
Это доказательство я придумал лет тридцать назад и рассказывал его многим студентам и коллегам-математикам. Несколько же лет назад кто-то сообщил мне, что видел то же доказательство в каком- то философском журнале, но не может вспомнить автора. Все же я хочу познакомить читателя с этим доказательством, кому бы оно ни принадлежало.
Человеческий мозг — машина конечная, поэтому вы можете верить в истинность лишь конечного числа утверждений. Обозначим их p1, p2…, pn, где n — число утверждений, в истинность которых вы верите. Итак, вы верите в то, что каждое из утверждений p1, p2…, pn истинно. Если вы не слишком самонадеянны, то знаете, что не все, во что вы верите, истинно. Значит, если вы не самонадеянны, то знаете, что по крайней мере одно из утверждений p1, p2…, pn ложно. Вы же верите в истинность каждого утверждения. Следовательно, вы непоследовательны.
Примечание. Где ошибка в этих рассуждениях? Я считаю, что никакой ошибки здесь нет. По моему глубокому
убеждению, разумно скромный человек должен быть непоследовательным.
Б. Новые дурацкие штучки
244. Расселл и папа римский.
Один философ испытал сильнейшее потрясение, узнав от Бертрана Расселла, что из ложного утверждения следует любое утверждение. Он спросил: «Вы всерьез считаете, что из утверждения „два плюс два — пять“ следует, что вы папа римский?» Расселл ответил утвердительно. «И вы можете доказать это?» — продолжал сомневаться философ. «Конечно!» — последовал уверенный ответ, и Расселл тотчас же предложил такое доказательство.
1) Предположим, что 2 + 2 = 5.
2) Вычтем из обеих частей по 2: 2 = 3.
3) Переставим правую и левую части: 3 = 2.
4) Вычтем из обеих частей по 1: 2 = 1.
Папа римский и я — нас двое. Так как 2 = 1, то папа римский и я — одно лицо. Следовательно, я — папа римский.
245. Что лучше?
Что лучше: вечное блаженство или бутерброд с ветчиной? На первый взгляд кажется, что вечное блаженство лучше, но в действительности это не так! Судите сами. Что лучше вечного блаженства? Ничто. А бутербод с ветчиной лучше, чем ничего. Следовательно, бутерброд с ветчиной лучше, чем вечное блаженство.
246. Какие часы лучше?
Эту головоломку придумал Льюис Кэрролл. Какие часы лучше: те, которые вообще не идут, или те, которые отстают на одну минуту в сутки? По мнению Льюиса Кэрролла, часы, которые вообще не идут, лучше: они показывают точное время дважды в сутки, в то время как часы, которые отстают на одну минуту в сутки, показывают точное время лишь раз в два года. «Но что толку от того, что стоящие часы показывают точное время дважды в сутки, — возразите вы, — если нельзя сказать, когда это происходит?»
Почему нельзя? Представьте себе, что часы остановились ровно в восемь часов (утра или вечера — неважно). Разве не ясно, что в восемь часов утра и в восемь часов вечера они будут показывать точное время? «А как узнать, — спросите вы, — что наступило восемь часов?» Нет ничего проще! Не сводите глаз с часов, и в тот момент, когда они покажут точное время, наступит восемь часов (чего именно — утра или вечера — не так уж важно, так как отличить утро от вечера сумеет всякий).
247.
Доказательство того, что существует лошадь с тринадцатью ногами.
Это доказательство не оригинально, оно частично восходит к математическому фольклору.
Требуется доказать, что существует по крайней мере одна лошадь, у которой тринадцать ног. Выкрасим всех лошадей в мире либо в синий, либо в красный цвет по следующей схеме. Прежде чем красить лошадь, сосчитаем, сколько у нее ног. Если у лошади ровно тринадцать ног, то выкрасим ее в синий цвет. Если же у лошади число ног окажется либо меньше, либо больше тринадцати, то выкрасим ее в красный цвет. Предположим, что мы выкрасили всех лошадей в мире. У синих лошадей по тринадцати ног, у красных число ног отлично от тринадцати. Выберем наугад какую-нибудь лошадь. Если она окажется синего цвета, то наше утверждение доказано. Если же она будет красного цвета, то выберем наугад вторую лошадь. Предположим, что вторая лошадь окажется синего цвета. Тогда наше утверждение опять-таки доказано. А что если вторая лошадь красного цвета? Тогда это будет лошадь другого цвета, и мы приходим к противоречию: откуда взяться другому цвету, если каждую лошадь в мире мы выкрасили только в один цвет?
248.
История с тринадцатиногой лошадью напомнила мне одну головоломку, придуманную Авраамом Линкольном. Если собачью ногу считать хвостом, то сколько ног будет у собаки? Ответ самого Авраама Линкольна гласил: «Четыре. Чем бы и как вы ни пересчитывали ноги собаки, даже собачьим хвостом, их все равно четыре».
249.
Мой самый любимый метод доказательства.
Я хочу предложить вашему вниманию самую лучшую из известных мне «дурацких штучек» — абсолютно безотказный метод, позволяющий доказывать что угодно. Единственный недостаток метода состоит в том, что доступен он только фокусникам-престидижитаторам.
Продемонстрирую его вам на примере. Предположим, что мне необходимо доказать кому-то, будто я граф Дракула. Я говорю: «Из всей логики вам необходимо лишь знать, что если заданы любые два утверждения p, q и p истинно, то по крайней мере одно из двух утверждений p, q истинно». Против этого вряд ли кто-нибудь станет возражать.
«Прекрасно, — говорю я, доставая из кармана колоду карт, — как вы видите, эта карта красной масти». С этими словами я кладу карту красной масти вверх рубашкой на левую руку своей «жертвы» и прошу накрыть карту сверху правой рукой. «Пусть p — утверждение о том, что вы держите карту красной масти, а q — утверждение о том, что я граф Дракула, — продолжаю я. — Утверждение p истинно. Согласны ли вы с тем, что либо p, либо q истинно?» Моя «жертва» соглашается. «Но утверждение p, как вы можете убедиться собственными глазами, ложно. Откройте карту!» — приказываю я. «Жертва» послушно открывает карту: к его изумлению, у него в руке оказывается карта черной масти! «Следовательно, — завершаю я доказательство, — утверждение q истинно. Значит, я граф Дракула!»
В. Несколько логических курьезов
В двух предыдущих разделах мы рассмотрели несколько неверных рассуждений, которые на первый взгляд казались верными. Теперь нас ожидает нечто прямо противоположное: мы познакомимся с кое-какими принципами, которые на первый взгляд противоречат здравому смыслу, но тем не менее оказываются верными.
250.
Принцип пьяницы
Существует один принцип, играющий важную роль в современной логике. Некоторые из моих аспирантов дали ему выразительное название «принцип пьяницы». Связано оно, должно быть, с шуточной историей, которую я всегда рассказываю на своих лекциях перед тем, как приступить к его изложению.
Человек сидит у стойки в баре. Внезапно он ударяет кулаком по стойке и приказывает бармену: «Налей-ка мне и налей всем. Когда пью я, пьют все. Такой уж я человек!» Все выпивают, настроение у посетителей бара повышается. Через какое-то время человек, сидящий у стойки, снова ударяет кулаком по стойке и заплетающимся языком отдает бармену распоряжение: «Налей мне еще и налей всем еще по одной. Когда я пью еще одну, все пьют еще по одной! Такой уж я человек!» Все выпивают еще по одной, и настроение в баре повышается еще больше. Затем человек, сидящий у стойки, кладет на нее деньги и говорит: «А когда я плачу, платят все. Такой уж я человек!»
На этом анекдот о пьянице завершается. Проблема состоит в следующем: существует ли в действительности такой человек, что если он пьет, то пьют все? Ответ на этот вопрос удивит многих из вас.
Более драматический вариант возник в разговоре, который состоялся у меня с философом Джоном Бэконом. Существует ли на свете такая женщина, что если она утратит способность к деторождению, то все человечество будет обречено на вымирание?
Вариант проблемы, двойственный принципу пьяницы: существует ли по крайней мере один человек, такой, что если кто-нибудь пьет, то пьет и он?
Решение. Да, существует такой человек, что если он пьет, то пьют все. Это следует в конечном счете из странного принципа, согласно которому из ложного утверждения следует любое утверждение.
Взглянем на проблему со следующей точки зрения. Утверждение о том, что все пьют, либо истинно, либо ложно. Предположим, что оно истинно. Выберем кого-нибудь и назовем нашего избранника Джимом. Так как все пьют и Джим пьет, то верно, что если Джим пьет, то все пьют. Следовательно, существует по крайней мере один такой человек (а именно Джим), что если пьет он, то все пьют.
Предположим теперь, что наше утверждение ложно, то есть не верно, что все пьют. Что тогда? B этом случае существует по крайней мере один человек (назовем его Джимом), который не пьет. Поскольку не верно, что Джим пьет, то верно, что если Джим пьет, то пьют все. Следовательно, и в этом случае существует такой человек (а именно Джим), что если он пьет, то пьют все.