Илюша написал единицы, и у него получилась табличка, изображенная слева.
— Эта замечательная табличка называется треугольником Паскаля, — сказал Радикс, — потому что она была составлена французским математиком семнадцатого века Блезом Паскалем.
— Это тот самый, про которого ты вспоминал, когда Великий Змий пришел пробирать нас? — спросил Илюша.
— Он самый, — торжественно произнес Радикс. — Эту табличку до Паскаля, веком раньше, построили итальянские математики. Но в то время известия о новых открытиях распространялись не так быстро, как теперь. Мало того, что этот треугольник дает натуральные числа, треугольные, пирами-
— 125 —
дальние и многие другие, которые в общем называются фигурными числами, он дает еще более полезные и важные указания. Вот я его сейчас перепишу по-другому.
Радикс взял мел и написал то, что изображено слева.
— Посмотри, — сказал он. — Тебе эти цифры ничего не напоминают?
Илюша внимательно посмотрел новую табличку, подумал, потом сказал:
— Один, два, один — это похоже на сто двадцать один, то есть на квадрат одиннадцати.
Потом Илюша взял мел и начал что-то старательно множить.
— Четвертая строка, — сказал он, — это будет куб одиннадцати, а пятая — четвертая степень одиннадцати.
— Правильно, — отвечал Радикс. — Ну, а кроме этого, ты ничего не замечаешь?
— Нет, — сказал Илюша, подумав, — больше, кажется, ничего.
— А помнишь ты формулу квадрата и куба суммы?
— Конечно!
— А как там идут коэффициенты?
Илюша помолчал, посмотрел на Радикса, потом на табличку и затем написал:
(а + b)2 = а2 + 2ab + b2.
(а + b)3 = а3 + 3a2b + 3ab2 + b3.
Внимательно посмотрев на эти хорошо знакомые формулы, а затем снова на табличку Радикса, Илюша сказал:
— А ведь верно! Если взять квадрат суммы, то при а2 коэффициент единица, при ab — двойка, а при b2 — снова единица, то есть коэффициенты идут, как в третьей строке: 1—2—1.
И в кубе суммы тоже идут, как в четвертой строке: 1—3—3—1.
Илюша умножил куб суммы на первую степень суммы и, довольный, сказал:
— Ну это просто замечательно! И в четвертой степени у нас получается:
(a + b)4 = a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + b4 ,
и, значит, коэффициенты идут опять, как здесь, в последней строчке: 1—4—6—4—1.
— 126 —
— Ну, так вот, — продолжал, улыбаясь, Радикс, — значит, с помощью этого треугольника, если ты его продолжишь (а как ты видел, это очень просто), ты можешь написать сумму в любой степени. Ты должен только запомнить еще одно нехитрое правило: степени первого слагаемого уменьшаются от той степени, в которую ты возводишь сумму, до нулевой, а степени второго слагаемого идут как раз в обратном порядке — от пулевой до старшей.
— Действительно так, — сказал Илюша, посмотрев на четвертую степень суммы.
— И это еще не все, — сказал Радикс. — Ты еще немало узнаешь в дальнейшем про эти числа. Они многое могут делать. Узнаешь также, что у Арамиса были весьма серьезные основания интересоваться этим треугольником (AЛ-I, XII).
— Вот почему он и сказал про двести семьдесят шесть ядер?
— Двести семьдесят шесть и двести пятьдесят три — это два пирамидальных числа. Но тут есть вещи и посерьезнее. Дело в том, что этот треугольник учит храбрых пушкарей не только складывать ядра в кучи: он учит их еще и стрелять из пушек! А самое главное, он учит их попадать этими ядрами как раз туда, куда следует, чтоб отвадить непрошеных гостей, которые падки на чужое добро!
— 127 —
Схолия Восьмая,
из которой любезный читатель узнает о том, как некий скромный знак препинания отправляется прогуляться по бережку весьма живописной речки, но никто из присутствующих никак не может понять, по какому берегу он идет — по этому или по противоположному. Наши друзья пытаются разрешить это небывалое затруднение при помощи карманных часов, но из этого ничего не выходит, потому что эти часы ведут себя не только весьма двулично, но, сверх того, еще находятся в самой тесной дружбе с одним несговорчивым зверьком, по имени спрут. Однако доблестный Илья Алексеевич, не теряя присутствия духа, бросается на своего страшного врага с ножницами и после пятикратного боя выходит из этой борьбы победителем. Естественно, что ему дается награда за этот знаменитый подвиг, благодаря чему он и получает возможность потрогать собственными руками ту самую таинственную бутылку, в которой сидел ужасный джинн из арабской сказки, причем талисман, которым был на тысячи лет запечатан в этой бутылке джинн, оказывается троюродным внуком одного нашего хорошего знакомого.
— Вот что, — сказал Радикс, забираясь в кресло, — ты ведь еще спрашивал насчет двери в домик Розамунды. Понравилась? А ведь признайся: в качестве двери в волшебное царство — устройство самое подходящее! А между тем эту дверь очень легко сделать.
— 128 —
Он протянул Илюше ровную четырехугольную полоску бумаги. На четырех углах ее стояли буквы А, В, С, D.
— Ну-ка, сверни ее кольцом.
Илюша свернул.
— А теперь поверни один конец на сто восемьдесят градусов, то есть обратной стороной, так, чтобы буква С пришлась против А и В — против D. Нажми хорошенько, и концы склеятся.
Илюша так и сделал. И у него в руках оказалась бумажная фигурка, которая нарисована внизу.
— Ну, вот и дверь, — сказал Радикс.
— Как так? — спросил Илюша в недоумении, разглядывая бумажную фигурку.
— А очень просто, — отвечал ему его приятель. — Это односторонний Мебиусов лист. (Вырежи скорее себе полоску бумажки, склей ее, как показано на картинке. Бери полоску в 25 см длиной и в 3 см шириной.)
— Вот какая странная бумажка! — сказал Илюша. — Действительно ты прав, — эта дверь как раз так и была устроена. Теперь я как будто понимаю, как я очутился с другой стороны, не переходя через край. Какая интересная поверхность!
— Ну, — сказал Радикс, — это еще что! Наш Бушмейстер еще и не такие чудеса может показывать.
— А кто такой Бушмейстер?
— А это такая змея водится в Гвиане. Страшно ядовитая, а хитра, как сам сатана. Правда, она двусторонняя. Но наша поверхность тоже очень хитрая, мы ее и прозвали Бушмейстером. Однако с бумажкой нам будет не очень удобно. Лучше мы попросим нашего Бушмейстера явиться к нам сюда собственной персоной. А вот и он! Прошу любить да жаловать.
— 129 —
И перед Илюшей повисла в воздухе Мебиусова поверхность, но довольно большая, около метра с лишним, а ширина ленты была сантиметров тридцать. Сделан был милейший Бушмейстер не из бумаги, а из почти совершенно прозрачного стекла. Илюша обошел его со всех сторон и заметил, что лента, из которой сделана односторонняя поверхность, была совершенно лишена толщины, как и полагается настоящей геометрической поверхности, однако была очень крепкая.
— Ну-с, — сказал Радикс, — надо тебе с ним познакомиться. Вот тебе карандаш. Проведи-ка вдоль всего Бушмейстера линию, но только с одной стороны. Начни, например, отсюда. Попросим его на минуту сделаться непрозрачным.
— Попробую, — сказал Илюша и взял карандаш. — Вот. И линия у меня сомкнулась, совсем как на обыкновенной ленте.
— Ты думаешь? А ну-ка, покажи мне теперь ту сторону Бушмейстера, на которой ты не проводил линию.
Илюша посмотрел снизу и воскликнул:
— Я вел линию все время с одной стороны, но она оказалась и там тоже! Выходит, что у него одна только сторона и есть. Он действительно односторонний!
А Бушмейстер мгновенно полинял и снова стал прозрачным.
Однако когда мальчик через минуту взглянул на Бушмейстера, он заметил, что теперь по самой середине поверхности течет речка из темной, непрозрачной жидкости. Речка текла в одном направлении и представляла собой движущуюся ленту из жидкости, вставленную в эту стеклянную ленту. Почему эта жидкость не проливалась? Однако если в этом мире Бушмейстер может сам по себе висеть в воздухе, то почему бы не висеть и речке?
Затем Радикс положил на ладошку Илюше что-то совсем крошечное и черненькое.
— Что это такое? — удивленно произнес мальчик.
В ответ с его ладошки раздался тоненький, еле слышный писк:
— Я — Точка! Геометрическая Точка. Неужели не узнал?