Поступим затем тем же порядком и с шашкой «двойка», то есть поместим ее на второе место, и так далее.
Но когда мы дойдем до предпоследнего места, то поставить на него шашку, которая стоит на последнем месте, не удастся, потому что ей ведь для этого надо перепрыгнуть через одну, а не через две шашки. В таком случае в самом конце «змейки», в четвертой строке, мы получим расположение 13-15-14 вместо 13-14-15, и если все остальные шашки уже стоят по местам, то получается только одна инверсия, между «четырнадцатью» и «пятнадцатью». Однако это может случиться только в тех расположениях, где уже с самого на-
— 108 —
чала было нечетное количество инверсий. Следовательно, при четном числе инверсий все шашки в конце концов неизбежно станут на свои места.
Восьмерка перепрыгивает через четыре шашки («14», «15», «11» и «2»)
Как видишь, мы попутно еще доказали, что когда Дразнилка «не выходит», то на свои места можно поставить все шашки, кроме двух последних, что ты, как я полагаю, и сам не раз замечал. Если ты пожелаешь разобрать это доказательство на примере, расставь все шашки для упрощения в одну шеренгу и перепрыгивай через две, как указано. Конечно, в квадратике Дразнилки ты можешь для ускорения дела иногда перепрыгивать и через четыре или шесть шашек, как мы выяснили раньше. Ну вот, а теперь поставь нашу «змейку» в ее натуральном порядке.
Илюша поставил (см. рис. на стр. 110).
— Погляди, как в зеркале отражается, и запиши.
Илюша глянул в зеркало и написал то, что видно на рисунке на следующей странице внизу.
— В первой строке «четыре» дает инверсии с «тройкой», «двойкой» и «единицей», «тройка» — с «двойкой» и «единицей», наконец, «двойка» — с «единицей».
Всего в первой строке одна плюс две плюс три — шесть инверсий. Во второй строке столько же. В третьей тоже столько же. Всего восемнадцать. А в последней строке только три инверсии. В конечном счете получается двадцать одна инверсия.
— То есть в итоге нечетное число. Значит, если зеркальное расположение «не выходит», его можно перевести в натуральное расположение с одной инверсией. Но раз так, значит, и расположение с одной инверсией можно перевести в зеркальное. А поэтому всякое расположение, которое «не выходит» (и которое, как мы доказали, можно свести к одной инверсии), ты можешь перевести в зеркальное. Так вот, когда у тебя «не выйдет» (возьми-ка поставь в большом Дразнилке пример с перестановкой только двух шашек — «единицы» и «пятнадцати»), то ты можешь для утешения стремиться не к натуральной расстановке шашек, а к зеркальной.
— Вот это так! — вскричал Илюша. – Беспроигрышный Дразнилка! Здорово! Знаешь, это мне напоминает то странное слово, которое язык тетушки написал в Схолии Четвертой.
— 109 —
Илюша попробовал прием и убедился в его доброкачественности.
— Мне потому нравится Дразнилка, — заявил Илюша, — что все у него выходит просто. Только торопиться не надо!
Радикс усмехнулся.
— Как сказать! — проворчал он. — Как сказать! Если ты уж так хорошо все понял, то возьми-ка переверни шашки. На них ведь сзади, как ты помнишь, написано «Тетушка Дразнилка».
Вынь одну шашку… Ну, для памяти вынем ту, на которой стоит буква «ша». Потом перепутай шашки и проверь на буквах, как получается насчет правила «выйдет-не-выйдет». А коли заметишь какие-нибудь особенности, не поленись дать исчерпывающее объяснение. Да, кстати, вот еще что. Скажи, пожалуйста: известно ли тебе, что бывают уравнения со многими неизвестными?
— Ну еще бы! — отвечал Илюша — Конечно, известно.
Так вот, представь себе, что Дразнилка имеет довольно близкое касательство к решению систем уравнений со многими и даже весьма многими неизвестными.
— Да что ты? — удивился мальчик.
— Дело в том, — продолжал Радикс, — что если тебе, допустим, придет в голову точно определить, как можно вывести общие формулы, определяющие значения неизвестных в зависимости от коэффициентов в уравнениях, то придется заняться тем же самым, чем мы сейчас с тобой забавлялись, а именно — подсчитать число инверсий. Если не струсишь, то советую проверить это. Давай напишем систему уравнений:
a1x + b1y + c1z = d1
a2x + b2y + c2z = d2
a3x + b3y + c3z = d3
и найдем, чему равняется у.
— Это что-то трудновато, — неопределенно заметил Илюша.
— Для простоты положим, что х и z уже известны и нам надо определить через них у. Ну-ка попробуй, что получится.
— 110 —
Илюша взял карандаш, задумался на минутку и написал следующее выражение для у:
y = (d1 — a1x — c1z) / b1
— Очень мило! Ну, а еще чего-нибудь ты не придумаешь?
— Можно подставить это значение у в остальные два уравнения, тогда останутся неизвестными только х и z.
— Можно. А далее?
— А далее поступаю подобным же образом. Определю из одного из уравнений z и подставлю его в последнее оставшееся уравнение. Получу, очевидно, значение для х. А его можно подставить в предыдущую формулу для z и так далее.
Все определится очень просто. Только бы не запутаться во всех этих подстановках.
— Так, — закончил Радикс, — верно. Придется тебе еще подумать, кстати, о том, чтобы у этих твоих дробей, которые определяют неизвестные, знаменатели не обращались в нуль.
Но если оставить это пока в стороне, то формулы ты получишь верные. О них-то я и хотел тебе сказать несколько слов.
Займись-ка, выпиши, что получается окончательно в знаменателе дробей. Если ты нигде не напутал, то получится алгебраическая сумма произведений:
a1b2c3; a1b3c2; a2b1c3; a2b3c1; a3b1c2; a3b2c1;
А что касается знаков перед ними, то они как раз тем и определяются, какое число инверсий, четное или нечетное, образуют числа «один», «два» и «три» в подписных значках у букв a, b и с, если мы будем писать эти три буквы каждый раз в их алфавитном порядке, как это у нас и сделано. Если при четном числе инверсий брать знак плюс, а при нечетном — минус, то получится алгебраическая сумма, которая называется определителем, или детерминантом, данной системы уравнений. Ты можешь еще заметить, что и числители дробей построены так же, только там вместо одной из букв а, b или с (в зависимости от того, какое ты неизвестное определяешь) поставлена буква d (для икса d заменяет букву а, для игрека — букву b, для зета — букву с). Если мы захотим определить знак перед каждым произведением, то для этого достаточно того, что мы вывели, когда разбирали маленького Дразнилку. А дальше дело пойдет, разумеется, похитрее. Мы еще вспомним нашего друга Дразнилку, когда будем разбирать одну довольно сложную задачу в Схолии Девятнадцатой.
— 111 —
— Теперь уже я буду относиться к Дразнилке посерьезнее. Вот какая он, оказывается, знатная персона!
— Кстати, — задумчиво произнес Радикс. — Ты, кажется, уверял меня по поводу младшего Дразнилки, что из трех элементов можно образовать всего шесть комбинаций?
— Разумеется, — уверенно ответил Илюша.
— Как это мило!.. — еще более задумчиво произнес его приятель. — И ты уверен, что больше шести не может быть?
— Конечно, уверен!
— Так, значит, шесть! И все разные. Это очень важно. Ровно шесть, говоришь ты?.. Это приводит мне на память один престранный случай. В архиве одного нотариуса города Толедо, в Испании, была обнаружена следующая запись, относящаяся к началу восемнадцатого столетия: