Эта формула основывалась на открытиях в физике. Статистики издавна знали о законе больших чисел. Грубо говоря, случайные события, если речь идет о некотором количестве их образцов, имеют свойство размещаться в соответствии с известным графиком нормального распределения: большая часть случаев происходит в средней зоне графика, а на его крайних точках вероятность подобных происшествий резко сокращается. Это называется нормальным распределением или, говоря языком математики, логарифмически нормальным распределением. Любой тренер баскетбольной команды знает, что, учитывая обычное распределение роста, в группе из сотни школьников он, скорее всего, найдет примерно 60–70 ребят обычного роста, несколько малорослых и несколько очень высоких ребят и, вероятно, одного школьника, который сможет играть центровым. Если повезет, тренеру удастся найти в такой группе двух центровых. Но среди мальчишек, живущих на одной улице, ему никогда не найти, скажем, 20 парней ростом 210 см (при этом мы исходим из предположения о том, что семьи, проживающие на этой улице, не состоят в родстве друг с другом, в противном случае выборку нельзя считать случайной). Как утверждает Питер Бернстайн, закономерности природы возникают лишь из хаотичного беспорядка множества случайных событий[80].
Валовая стоимость одного доллара, инвестированного в Long-Term Capital Management (в дол.)
Март 1994 г. – октябрь 1998 г.
Кривая нормального распределения
Для Блэка, Скоулса и Мертона изменения котировок на финансовых рынках тоже были случайными событиями[81]. Никто не может предсказать любое конкретное изменение, но, полагали они, на протяжении достаточно долгого периода распределение всех таких котировок отразит график, характеризующий другие случайные события вроде бросков монеты или игральной кости или роста учащихся старших классов. Рынок итальянских облигаций или движение цен на казначейские облигации также отражает кривая нормального распределения: на протяжении многих дней котировки незначительно повышаются или снижаются, а крайние моменты, когда котировки внезапно и резко подскакивают или обваливаются, будут очень редки.
Если величина обычных изменений, иначе говоря волатильности, известна, можно, как полагали профессора из LT, вычислить и шансы на то, что какая-либо акция, облигация или любой иной актив со временем подорожает или упадет в цене в той же пропорции. Дифференциальные уравнения, используемые для решения формулы Блэка – Скоулса, представляли собой заимствованные из физики и адаптированные уравнения, которые, между прочим, описывают физические явления иного рода, например то, как распределяются сливки в чашке кофе[82]. Траектория движения любой отдельной молекулы случайна, но, взятые в совокупности, молекулы распределяются предсказуемым образом, от центра к периферии. Сливки никогда не собираются в одной стороне чашки.
Формула Блэка – Скоулса утверждает, что и движение котировок не происходит в одном (предсказуемом) направлении. При анализе опциона, дающего право приобрести ценную бумагу по определенной «цене исполнения» в будущем, единственное, что имеет значение, волатильность, или цена, вокруг которой колеблются котировки данной бумаги[83]. Это предположение интуитивно верно: чем сильнее колеблются котировки, тем выше вероятность того, что они превысят цену реализации опциона.
Но Блэк и Скоулс формулируют свою главную посылку и утверждают: волатильность ценной бумаги постоянна. Заявление о том, что стоимость опциона на приобретение акций IBM зависит от волатильности акций IBM, бессмысленно до тех пор, пока нет согласия относительно сущности (и определения) понятия «волатильность». Поэтому профессора из LT рассматривали волатильность как особенность, которая присуща любой ценной бумаге и неизменна. У вас голубые глаза, а у акций IBM – волатильность, равная Х. Вы или я можем предположить, что колебания на рынке в течение ряда последних дней не более чем шум, то есть они в сущности произвольны, не упорядоченны, их повторение необязательно и о них лучше всего забыть. Но Блэк, Скоулс и Мертон, а также LT исходили из соображения о том, что глубокий смысл этих колебаний заключается в способности предсказывать будущее. Малейшее движение рынка вверх или вниз скрывает в себе безошибочное предвидение будущих рисков. Такой подход предполагал эффективность и рациональность каждого движения рынка.
Мертон развил это предположение. Он счел волатильность настолько постоянной, что в «непрерывном времени» сближение котировок неизбежно. Другими словами, скачков котировок не будет. Рынки Мертона были такими же сглаженно-однородными, как хорошо сваренный яванский кофе. На таких рынках распределение цен подобно расположению сливок в чашке кофе. Например, Мертон предполагал, что котировки акций IBM никогда не обвалятся сразу с 80 долларов до 60, но постоянно будут в процессе снижения останавливаться на 79 3/4, 79 1/2, 79 1/4 и т. д.
В каждом бесконечно малом моменте трейдеры будут пересматривать цену опционов IBM, синхронизируя изменения этой цены с котировками акций IBM. Причем трейдеры, у которых есть и акции IBM, и опционы на эти акции, стремительно покупая или продавая то и другое, сумеют поддерживать свои портфели в состоянии райского, безрискового равновесия. Короче говоря, Мертон предположил возможность совершенных, свободных от рисков арбитражных операций. Это допущение способно приблизительно соответствовать реальным рынкам в состоянии покоя, но и только в этом состоянии. В 1987 году институциональным инвесторам впаривали (с абсурдной шумихой) так называемое страхование портфелей ценных бумаг как способ ограничения потерь с помощью непрерывных продаж при обвале рынков. Действия таких страховщиков усугубили обрушение рынков, названное впоследствии «черный понедельник». В тот день рынок проявил исключительную непоследовательность. Страховщики портфелей, рассчитывавшие на стремительное ограничение своих убытков, не смогли угнаться за темпами разразившейся на Уолл-стрит паники и потеряли все до последней крошки.
* * *
Сформулированное Мертоном предположение о возможности совершенных арбитражных операций было исключительно важным элементом стратегий хеджирования, которых придерживалась LT (и многие другие компании). Разумеется, и в Salomon Brothers партнеры работали на основании тех же предположений о риске, пожиная феноменальные прибыли, добавлявшие им самоуверенности, хотя порой они несли немалые убытки. Совершаемые ими сделки обычно были разумными, то есть соответствовали вероятности. Тем не менее тот факт, что корабль Группы арбитражных операций в прошлом не опрокидывался, не гарантировал правильности имевшихся у партнеров расчетов вероятностей возникновения сейсмических волн, пусть такие волны и сравнительно редки.
Соблазнительность теорий Мертона заключалась не в том, что они отдаляли от истины, а в том, что они очень походили на нее. Подобные модели ученые обсуждают годами и, несомненно, будут обсуждать и впредь. Как писал английский эссеист Г. К. Честертон, жизнь – это капкан для логиков, потому что она логична почти, но не вполне; обычно она разумна, но время от времени иррациональна: «Она кажется чуть более математически стройной и упорядоченной, чем есть на самом деле; ее точность очевидна, а неточность скрыта; ее кипение притаилось в засаде»[84].
Именно в такой капкан и попал Мертон. Сформулированная им теория «финансов непрерывного времени» как будто свертывала финансовую вселенную в аккуратный шарик. На бумаге эта теория решала практически любую финансовую проблему или указывала возможные ее решения: как оценивать «мусорные» облигации, сколько платить за страхование депозитов – можете сами продолжить этот перечень. Теории Мертона, казалось, воплощали элегантность и порядок, которых всегда жаждал их создатель. «Не все, что прекрасно в науке, должно иметь и практическое применение, – с удовольствием писал он, – но в данном случае мы достигли и красоты, и практичности»[85].
Эрик Розенфелд, учившийся в Массачусетском технологическом институте в 1970-х годах, взирал на Мертона снизу вверх, как на «невероятно одаренного математика». Розенфелд заметил, что одна неопубликованная работа Мертона дала толчок к написанию группой вдохновенных учеников множества диссертаций. Конечно, все творение Мертона зиждилось на посылке случайных движений, имеющих тесную привязку к миру физических явлений. Как объяснял скромный Розенфелд, он и протеже его приятеля Мертона любили захаживать в библиотеку физической литературы, где искали формализованные решения, которыми могли бы «сдобрить финансы».
Кривая нормального распределения с «жирными хвостами» (более насыщенная на концах)