выражается в формуле: «Аксиомы данной геометрии выражают свойства данного пространства
». Так геометрия на плоскости принимает все три аксиомы Эвклида, то есть:
1) прямая линия есть кратчайшее расстояние между двумя точками;
2) каждую фигуру можно переносить на другое место, не нарушая её свойств;
3) параллельные линии не встречаются (эта последняя аксиома обыкновенно выражается по Эвклиду иначе).
В геометрии на сфере или на вогнутой поверхности верны только две первые аксиомы, так как меридианы, параллельные у экватора, у полюсов уже встречаются.
В геометрии на поверхности с неправильной кривизной верна только первая аксиома, вторая — о переносе фигур, уже невозможна, так как фигура, взятая в одном месте неправильной поверхности, может измениться при переносе на другое место. И сумма углов треугольника может быть и больше, и меньше двух прямых [углов, т. е. 180°].
Таким образом аксиомы выражают различие свойств различного рода поверхностей. Геометрическая аксиома есть закон данной поверхности.
Но что такое поверхность?
Заслуга Лобачевского в том, что он находил необходимым пересмотреть основные понятия геометрии. Но он никогда не шёл так далеко, чтобы переоценить эти понятия с точки зрения Канта. В то же время он ни в каком смысле не возражал против Канта. Поверхность в уме Лобачевского как геометра была только средством обобщения некоторых свойств, в которых строилась та или другая геометрическая система, или обобщением свойств данных линий. О реальности или нереальности поверхности он, вероятно, совсем не думал.
Таким образом с одной стороны, совершенно не прав Бонола, который приписывает Лобачевскому воззрения, противоположные кантовским, и близость к «сенсуализму» и «обычному эмпиризму», а с другой стороны, можно думать, что Хинтон совершенно субъективно приписывает Гауссу и Лобачевскому, что они открыли новую эру в философии.
Неэвклидова геометрия, в том числе и геометрия Лобачевского, не имеет никакого отношения к метагеометрии.
Лобачевский не выходит из сферы трёх измерений.
Метагеометрия рассматривает сферу трёх измерений как разрез высшего пространства. Из математиков ближе всех к этой идее стоял Риман, понимавший отношение времени к пространству.
Точка трёхмерного пространства есть разрез метагеометрической линии. Линии, которые рассматривает метагеометрия, нельзя обобщить ни в какой поверхности. Это последнее, может быть, самое важное для определения различия геометрии (эвклидовой и неэвклидовой) и метагеометрии. Метагеометрические линии нельзя рассматривать как расстояние между точками в нашем пространстве. И нельзя представить себе образующими какие-либо фигуры в нашем пространстве.
Рассмотрение возможных свойств линий, лежащих вне нашего пространства, их углов и отношений этих линий и углов к линиям, углам, поверхностям и телам нашей геометрии и составляет предмет метагеометрии.
Исследователи неэвклидовой геометрии не могли решиться отойти от поверхности. В этом есть что-то прямо трагическое. Посмотрите, какие поверхности придумывал Лобачевский при своих исследованиях 11-го постулата Эвклида (о параллельных линиях, или об углах, образуемых линией, пересекающей две параллельные) — одна из его поверхностей похожа на поверхность лопастей вентилятора[5], другая на поверхность воронки. Но отойти от поверхности совсем, бросить её раз и навсегда, представить себе, что линия может быть не на поверхности, то есть что ряд линий параллельных или близких к параллельным не может быть обобщён ни на какой поверхности и даже вообще в трёхмерном пространстве — он не мог решиться. И поэтому — и он и очень многие другие геометры, создавая неэвклидову геометрию, не могли выйти из трёхмерного мира.
Механика признаёт линию [переноса энергии] во времени, то есть такую линию, какую никак нельзя представить себе на поверхности или как расстояние между двумя точками пространства — эта линия берётся в расчёт при вычислении [работы] машин. Но геометрия никогда не касалась этой линии и имела дело всегда только с её разрезами.
* * *
Теперь можно вернуться к вопросу: «что такое пространство?» и посмотреть, найден ли ответ на этот вопрос.
Ответом было бы точное определение и объяснение трёхмерности пространства как явления мира.
Но этого нет. Трёхмерность пространства как объективное явление осталась такой же загадочной и непонятной, как прежде. По отношению к ней необходимо:
— или принять её как данное и прибавить это данное к тем двум данным, которые мы установили вначале;
— или признать неправильность всего объективного метода рассуждения и вернуться к другому [(не кантовскому)] методу, указанному в начале [этой книги].
Тогда, исходя из двух основных данных — мира и сознания, должно установить, свойством чего является трёхмерное пространство, свойством мира или свойством нашего познания мира.
Начав с Канта, который утверждает, что пространство есть свойство восприятия мира нашим сознанием, я дальше намеренно уклонился от этой идеи и рассматривал пространство как свойство мира.
Я допустил вместе с Хинтоном, что наше пространство в самом себе несёт условия, которые позволяют нам установить его отношения к высшему пространству и на основании этого предположения построить целый ряд аналогий, кое-что выяснивших для нас в вопросах пространства и времени и их взаимных отношений, но, как уже было сказано, ничего не разъяснивших относительно главного вопроса о причинах трёхмерности пространства.
Метод аналогий вообще довольно мучительная вещь. Вы ходите с ним по замкнутому кругу. Он помогает уяснить некоторые вещи и отношения вещей, но в сущности никогда и ни на что не даёт прямого ответа. После долгих и многочисленных попыток разобраться в сложных вопросах при помощи аналогий, вы чувствуете тщетность всех ваших усилий, чувствуете, что с этими аналогиями ходите вдоль стены — и тогда вы начинаете испытывать прямо ненависть и отвращение к аналогиям и находите необходимость искать прямого пути, непосредственно ведущего туда, куда вам нужно.
Проблема высших измерений обыкновенно разбиралась путём аналогий. Только в самое последнее время в науке начинает вырабатываться прямой метод, который дальше будет указан.
И если мы хотим идти прямым путём, не уклоняясь от него, мы должны строго держаться основных положений Канта. Если же мы с точки зрения этих положений формулируем приведённую выше мысль Хинтона, то получится следующее: мы в себе самих несём условия нашего пространства и поэтому в себе же должны найти условия, которые позволили бы нам установить отношения нашего пространства к высшему.
Иначе говоря, мы должны в нашей психике, в нашем воспринимательном аппарате найти условия трёхмерности мира — и там же найти условия возможности мира высших измерений.
Поставив себе такую задачу, мы становимся на совершенно прямой путь и должны будем получить ответ на наш вопрос: что такое пространство и его трёхмерность?
Каким образом можем мы подойти к решению этой задачи?
Совершенно ясно, что путём изучения нашего сознания и его свойств. Мы освободимся от всяких аналогий и станем на правильный и прямой путь к решению основного вопроса об