трудным для плоского существа. Оно должно совершенно перестроить свои представления о пространстве и времени. Это должно быть первым шагом. Пока это не сделано, нет ничего. Пока всю нашу вселенную плоское существо представляет во времени, то есть относит ко времени всё, лежащее по сторонам его плоскости, оно никогда ничего не поймёт. Чтобы начать постигать «третье измерение», двумерное существо, живущее на плоскости, должно представить себе
пространственно свои временные понятия, то есть перенести своё время в пространство.
Чтобы получить только искру правильного представления о нашем мире, оно должно будет совершенно перестроить все свои идеи о мире — переоценить все ценности, пересмотреть все понятия, объединяющие понятия разъединить, разъединяющие соединить и, главное, создать бесконечно много новых.
Если мы поставим на плоскость двумерного существа пять пальцев нашей руки, то это будет для него пять отдельных явлений.
Попробуем представить себе мысленно, какую огромную умственную эволюцию должно проделать плоское существо, чтобы понять, что пять отдельных явлений на его плоскости — это концы пальцев руки большого, деятельного и разумного существа — человека.
Разобрать подробно шаг за шагом, как плоское существо переходило бы к пониманию нашего мира, лежащего для него в области таинственного третьего измерения, то есть частью в прошедшем, частью в будущем — было бы в высшей степени интересно. Чтобы постигнуть мир трёх измерений, плоское существо прежде всего должно перестать быть двумерным, то есть должно само стать трёхмерным, или, иначе говоря, должно почувствовать интересы жизни в трёхмерном пространстве. Почувствовав интересы этой жизни, оно уже этим самым отойдёт от своей плоскости и никогда не будет в состоянии на неё вернуться. Всё больше и больше входя в круг бывших для него раньше совершенно непостижимыми идей и понятий, оно уже станет не двумерным существом, а трёхмерным. А для этого плоское существо должно в сущности быть трёхмерным[3], т. е. само не сознавая этого. иметь третье измерение. Существо — на самом деле двумерное — никогда трёхмерным не станет. Чтобы стать трёхмерным, оно должно трёхмерным быть. Тогда оно может в конце концов освободиться от иллюзии двумерности мира и себя и почувствовать трёхмерный мир.
ГЛАВА VII
Разобрав теперь «отношения, которые несёт в себе самом наше пространство», мы должны вернуться к вопросу о том, что же в действительности представляют собой измерения пространства? И почему их три?
Самым странным должно представляться то, что невозможно определить трёхмерность математически.
Мы плохо сознаём это, и это кажется парадоксом, потому что мы всё время говорим об измерении пространства, но это факт. Математика не чувствует измерений пространства.
Возникает вопрос, как может такое тонкое орудие анализа, как математика, не чувствовать измерений, если они представляют собой какие-то реальные свойства пространства.
Говоря о математике, необходимо прежде всего признать, как основную предпосылку, что всякому математическому выражению соответствует отношение каких-то реальностей.
Если этого нет, если это не верно, то нет математики. Это её главная сущность, главное содержание. Выражать отношения величин — вот задача математики. Но отношения должны быть между чем-нибудь. Вместо алгебраических а, b и с всегда должно быть можно подставить какую-нибудь реальность. Это азбука всей математики: а, b и c — это кредитные билеты, они могут быть настоящими, если за ними есть реальное нечто, и могут быть фальшивыми, если за ними нет никакой реальности.
«Измерения» играют здесь очень странную роль. Если мы изобразим их алгебраическими знаками а, b и с, то они будут иметь характер фальшивых кредитных билетов. Эти а, b и с нельзя заменить никакими реальными величинами, которые выражали бы отношения измерений.
Обыкновенно изображают измерения степенями, первой, второй и третьей, то есть если линию называют а, то квадрат, стороны которого равны этой линии, называют а2, и куб, стороны которого равны этому квадрату, называют а3.
Это между прочим дало основание Хинтону строить теорию тессарактов, тел четырёх измерений, а4. Но это чистая беллетристика. Прежде всего потому, что изображение «измерений» степенями совершенно условно. Все степени можно изобразить на линии. Возьмём отрезок а, равный пяти миллиметрам; тогда отрезок в 25 миллиметров будет его квадратом, то есть а2; а отрезок в 125 миллиметров будет кубом, то есть а3.
Как же понять, что математика не чувствует измерений, то есть что математически нельзя выразить разницу между измерениями?
Это можно понять и объяснить только одним — именно, что этой разницы не существует.
И действительно, мы знаем, что все три измерения в сущности тождественны, то есть каждое из трёх измерений можно по очереди рассматривать как первое, как второе, как третье и наоборот. Это уже ясно доказывает, что измерения не есть математические величины. Все реальные свойства вещи могут быть выражены математически в виде величин, то есть числами, показывающими отношение этих свойств к другим свойствам.
Но математика в вопросе об измерениях видит как будто больше нас или дальше нас, через какие-то грани, которые останавливают нас, но не стесняют её; и видит, что нашим понятиям измерений не соответствуют никакие реальности.
Если бы три измерения соответствовали действительно трём степеням, то мы имели бы право сказать, что только три степени относятся к геометрии, а все остальные отношения высших степеней, начиная с четвёртой, лежат за геометрией.
Но у нас нет даже этого. Изображение измерений степенями совершенно условно.
Вернее сказать — геометрия с точки зрения математики есть искусственное построение для разрешения задач на условных данных, выведенных, вероятно, из свойств нашей психики.
Систему исследования «высшего пространства» Хинтон называет метагеометрией, и он связывает с метагеометрией имена Лобачевского, Гаусса и других исследователей неэвклидовой геометрии.
Мы должны рассмотреть, в каком отношении к затронутым нами вопросам находятся теории этих учёных.
Хинтон выводит свои идеи из Канта и Лобачевского.
Другие наоборот, противопоставляют идеи Канта идеям Лобачевского. Так Роберто Бонола в «Неэвклидовой геометрии» говорит, что воззрение Лобачевского на пространство противоположно кантовскому. Он говорит:
Учение Канта рассматривает пространство как некоторую форму субъективного созерцания, необходимо предшествующую всякому опыту; учение Лобачевского, примыкающее скорее к сенсуализму и обычному эмпиризму, возвращает геометрию в область опытных наук.[4]
Какой же взгляд правилен, и в каком отношении стоят идеи Лобачевского к нашей проблеме? Вернее всего будет сказать: ни в каком отношении. Неэвклидова геометрия не есть метагеометрия, и неэвклидова геометрия стоит к метагеометрии в таком же отношении, как эвклидова геометрия.
Результаты всей неэвклидовой геометрии, подвергшей переоценке основные аксиомы Эвклида и нашедшей своё наиболее полное выражение в работах Больяйя, Гаусса и Лобачевского,