Множество является конечным, когда возможно сосчитать его члены один за другим, и этот счет в какой-то момент заканчивается. В бесконечных множествах, наоборот, счет никогда не заканчивается. Если у нас есть конечное множество, мы вполне можем сказать, сколько в нем членов; например, во множестве дней недели семь членов, а во множестве месяцев года — 12. Количество членов множества математики называют его кардинальным числом; таким образом, мы можем сказать, что кардинальное число множества, образованного буквами слова "море", равно четырем.
Целью Кантора было придать смысл идее кардинального числа, или количества членов, для бесконечных множеств. Но как можно говорить о количестве членов бесконечного множества? Можно ли что-то сказать, кроме очевидного факта того, что оно бесконечно? Кантор исходил из простой идеи: представим себе, что в большом зале много играющих детей и большое число стульев (рисунок 1), и нам хочется знать, равно ли их количество друг другу. Один из способов сделать это — это сосчитать детей по одному, сделать то же самое со стульями, а затем сравнить результаты.
РИС. 1
РИС. 2
Но есть более прямой способ осуществить это сравнение — попросить детей сесть по одному на каждый стул. Если не осталось ни одного пустого стула, мы можем сказать, что стульев ровно столько же, сколько и детей, то есть что кардинальные числа множества стульев и множества детей равны. В математической терминологии можно сказать, что мы установили биективное (взаимнооднозначное) соответствие между множествами (каждому ребенку соответствует один стул, а каждому стулу — один ребенок).
Итак, мы можем сказать, что у двух конечных множеств одно и то же кардинальное число, если можно установить биективное соответствие между ними. Идея Кантора заключалась в том, чтобы распространить это понятие на бесконечные множества, установив биективное соответствие между множествами в виде сравнения их кардинальных чисел.
На основе этой идеи Кантор определил, что два бесконечных множества имеют одно и то же кардинальное число, если можно установить между ними биективное соответствие, то есть если можно установить пары между их соответствующими членами так, чтобы каждому члену первого множества точно соответствовал один член второго, и наоборот.
В первой главе мы уже видели, что множество всех натуральных чисел (1, 2, 3, 4,...) может иметь биективное соответствие с множеством квадратных чисел (1,4, 9, 16,...).
Множество натуральных чисел обычно обозначают буквой N (буква символизирует числа в целом как самостоятельный объект). А если к натуральным числам добавить их противоположные (то есть отрицательные числа -1, -2, -3, -4, ...), а также ноль, мы получим множество целых чисел, которое в математике обычно обозначается буквой Z — от первой буквы немецкого слова Zahl (число).
Кантор заметил, что у множества целых чисел то же самое кардинальное число, что и у N. Другими словами, существует столько же натуральных чисел, сколько и целых.
В соответствии между N и Z число 1 множества N образует пару с числом 0 множества Z; остальные нечетные числа множества N устанавливают пары с отрицательными числами множества Z; а четные числа множества N устанавливают пары с положительными числами множества Z. Заметим, что, как это и должно быть, каждому члену множества N соответствует один член множества Z, при этом нет ни одного отсутствующего или лишнего члена.
Натуральные числа — только часть целых; однако оба множества имеют, как это определил Кантор, "одно и то же количество элементов" (на математическом языке — у обоих множеств одно и то же кардинальное число). Как мы уже сказали в главе 1, аристотелевский принцип — "целое больше любой из его частей" — неприменим к бесконечным множествам.
ДИАГОНАЛЬНЫЙ МЕТОД
Чтобы пойти еще дальше, необходимо кратко остановиться на очень распространенном способе представления чисел на числовой прямой.
Фрагмент числовой прямой с обозначенными на ней некоторыми целыми числами.
Числовая прямая — это прямая линия, которая превращается в числовую, когда мы назначаем числа ее точкам. Самый простой способ обозначить целые числа — назначить одной точке число 0, другой — 1. Когда они назначены, натуральные числа располагаются после 1, при этом сохраняется расстояние между соседними числами. Отрицательные числа расположены симметрично положительным относительно числа 0. Очевидно, что как только будут назначены все целые числа, будет еще много точек, не имеющих чисел. Например, 1/2 = 0,5 находится ровно посередине между 0 и 1; 4/3 = 1,333... — на трети пути между 1 и 2; √2 = 1,4142... — между 1 и 1,5 (намного ближе к 1,5, чем к 1); π = 3,1415... — немного дальше 3.
Множеством действительных чисел (которое обычно обозначается буквой R) называют множество, образованное числами, заполняющими всю числовую прямую. Каждой точке числовой прямой соответствует действительное число, и наоборот. Среди действительных чисел, конечно же, есть и целые, и упомянутые выше √2 или π, а также другие бесконечные числа, такие как 12,22222 или —2,01001000100001...
У множеств N и Ζ, как мы видели, одно и то же кардинальное число, но... происходит ли то же самое с N и R? Кантор открыл, что это не так: N и М имеют разные кардинальные числа, и между ними невозможно установить биективное соответствие. Доказательство этого факта состоит в том, что любая попытка установить биективное соответствие между натуральными и действительными числами провалится и по крайней мере одно действительное число неизбежно останется без соответствия. Если бы натуральные числа обозначали стулья, а действительные — детей, то всегда будет один ребенок, оставшийся без стула.
Чтобы понять эту идею, приведем доказательство для одного специфического примера, хотя ясно, что эта процедура работает во всех случаях. Итак, назначим действительное число каждому натуральному и посмотрим, как можно найти пропущенное число (на следующем рисунке показаны только числа от 1 до 5, но в действительности список продолжается до неопределенности).
Правило, по которому мы назначили эти числа, неясно, но это не имеет значения, поскольку метод работает при любом правиле назначения. В качестве первого шага этого метода сосредоточим наше внимание на цифрах, находящихся после запятой.
Обратим внимание на диагональную линию, начинающуюся в левом верхнем конце, опускающуюся вправо (см. рисунок). Выдающаяся роль этой линии определила название метода — диагональное доказательство.
Число, которое мы ищем (оно осталось без пары), начинается с 0, а знаки после запятой определены числами, появляющимися по диагонали.
НАТУРАЛЬНЫЕ И РАЦИОНАЛЬНЫЕ ЧИСЛА
Можно было бы подумать, будто N и R имеют разные кардинальные числа потому, что N — дискретное множество (то есть его графическое представление заключено в изолированных точках), в то время как R не является таковым (между двумя действительными числами всегда есть другие действительные числа, в R нет изолированных точек).
Однако дело не в этом. Возьмем множество рациональных чисел, которое обычно обозначается буквой Q и в котором содержатся все рациональные числа, то есть те, что можно представить в виде дроби (или в виде частного двух целых чисел). Например, 1/2 = 0,5 и -4/3 = -1,333... рациональные числа, в то время как √2 = 1,4142... и π = 3,1415... таковыми не являются. Целые числа включены в рациональные, поскольку, например, 6 = 6/1. Хотя рациональные числа не заполняют всю числовую прямую, они не дискретны: между двумя рациональными числами всегда есть другое рациональное число. Например, между двумя рациональными числами всегда лежит среднее для них число. Так, между 1/3 и 1/2 находится
между 1/3 и 5/12 находится среднее для них число, а между 1/3 и этим средним числом — их среднее число, и так далее (схема выше).
Несмотря на то что Q — плотное множество, а N — дискретное, между ними можно установить биективное соответствие. Один из способов сделать это показан на схеме, где появляются все рациональные числа, а стрелки указывают путь, вдоль которого можно пройти один раз через каждую дробь. Способ установления последовательности следующий: первому числу пути (то есть 0) соответствует натуральное число 1, второму (то есть 1) — натуральное число 2, третьему (то есть 1/2) — число 3, и так далее. Пояснение: дробь -2/2 занимает седьмое место на пути, и сначала мы должны были бы назначить ему натуральное число 7. Однако -2/2 равно -1 (-1 и -2/2 — это одно и то же число, записанное по-разному), а числу -1 мы до этого назначили натуральное число 5. Мы не можем назначить 5 числу -1, а 7 — числу -2/2, поскольку это одно и то же число. Способ решения этой проблемы — просто опустить -2/2 и назначить 7 следующей дроби, то есть -2/3.