В программе Гильберта требовалось, как мы уже сказали, найти непротиворечивое множество аксиом арифметики таким образом, чтобы каждое высказывание Р (либо его отрицание) было доказуемым. Но также требовалось, чтобы непротиворечивость этих аксиом проверялась алгоритмически, — это придавало уверенности, что аксиомы не приведут к парадоксу. В своей статье 1931 года Гёдель доказал вторую теорему, так называемую вторую теорему о неполноте. В ней доказывается, что эта цель также неосуществима.
Эта теорема часто формулируется следующим образом:
ни одно непротиворечивое множество аксиом не содержит арифметики, достаточной для того, чтобы доказать свою собственную непротиворечивость.
В выражении "содержит арифметики, достаточной..." речь идет об уже упомянутом условии того, что множество аксиом, о котором мы говорим, способно доказать все финитные истинные высказывания. Но как же может множество доказать или не доказать собственную непротиворечивость? Для начала арифметические аксиомы позволяют доказать только те высказывания, в которых говорится о числах, но не такие, в которых говорится о непротиворечивости множества аксиом. Мы уже сталкивались с подобной проблемой в предыдущей главе, когда хотели записать арифметическое высказывание, которое говорило бы о себе самом. Как добиться того, чтобы арифметическое высказывание, в котором говорится о числах, начало говорить о самом себе? Способом достижения этого была идентификация высказываний с помощью их кодов, так чтобы разговор о высказывании был равносилен разговору о его коде.
Для доказательства непротиворечивости аксиом арифметики необходим прямой метод.
Давид Гильберт на инаугурационном докладе на Втором Международном математическом конгрессе в Париже в 1900 году
В нашем случае, когда мы хотим записать арифметическое высказывание, в котором говорилось бы о непротиворечивости множества аксиом, нумерация Гёделя снова приходит нам на помощь.
Как уже говорилось, если множество аксиом противоречиво, то любое высказывание доказуемо на его основе. Наоборот, если множество непротиворечиво, всегда найдется высказывание, являющееся недоказуемым (поскольку для любого Р либо оно, либо его отрицание, по крайней мере одно из двух, недоказуемо). Следовательно, непротиворечивость множества аксиом равносильна тому, что есть по крайней мере одно высказывание, которое не является доказуемым на его основе. То, что система непротиворечива, равносильно следующему:
"существует некоторое высказывание, не являющееся доказуемым".
Вновь возьмем гипотетический пример из предыдущей главы, в котором мы предположили, что всем высказываниям соответствуют коды, являющиеся простыми числами, а доказуемым высказываниям, в частности, соответствуют простые числа, являющиеся суммой или разностью трех последовательных простых чисел. В данном контексте в предыдущем высказывании утверждалось бы, что "существует некоторое простое число, не являющееся суммой или разностью трех последовательных простых чисел", что на другом уровне прочтения означало бы: "существует код высказывания, не являющийся кодом доказуемого высказывания", то есть "существует недоказуемое высказывание" или "множество аксиом непротиворечиво".
У нас есть два уровня прочтения для "существует некоторое простое число, не являющееся суммой или разностью трех последовательных простых чисел": арифметический, где указывается только арифметическое свойство; и более высокий уровень прочтения, зависящий от нумерации Гёделя, на котором заявляется непротиворечивость множества аксиом. Теперь сформулируем вторую теорему о неполноте:
если система арифметических аксиом непротиворечива и может доказать все финитные истинные высказывания, то арифметическое высказывание, в котором утверждается непротиворечивость множества аксиом, недоказуемо на основе этих же аксиом.
Прокомментируем идею доказательства этой теоремы, как это сделал Гёдель в статье 1931 года. В своей первой теореме о неполноте Гёдель доказывает, что:
если множество аксиом непротиворечиво, то G недоказуемо.
Заметим, что высказывание, в котором говорится: "G недоказуемо", — это само G. То есть G = "G недоказуемо". Следовательно, в предыдущее утверждение, в котором говорится: "G недоказуемо", можно просто поставить G. Или, что то же самое, в своей первой теореме Гёдель доказал:
если множество аксиом непротиворечиво, то справедливо G.
Итак, если доказать, что система аксиом непротиворечива, то высказывание "если множество аксиом непротиворечиво, то справедливо G" будет доказуемым. То есть "если множество аксиом непротиворечиво, то справедливо G" доказуемо, тогда доказуемо "множество аксиом непротиворечиво".
Тогда, по правилу вывода, G тоже доказуемо. Это абсурд, поскольку мы уже доказали, что G недоказуемо. Делаем вывод, что "множество аксиом непротиворечиво" недоказуемо на основе аксиом (см. схему).
В последней главе мы рассмотрим некоторые философские следствия обеих теорем Гёделя о неполноте.
ГЛАВА 4
Гёдель и Эйнштейн
Курт Гёдель и Альберт Эйнштейн были большими друзьями и в Принстоне много времени проводили вместе. Благодаря этой дружбе появились три статьи Гёделя о теории относительности Эйнштейна — в отличие от остальных его опубликованных работ, они полностью чужды математической логике.
Несмотря на все политические и экономические проблемы (первые были вызваны нацистами, а вторые — кризисом 1929 года), в 1930-е годы в Вене бурлила не только богатая ночная жизнь, но и не менее разнообразная интеллектуальная. В кафе, кабаре и клубах по ночам слушали музыку и танцевали, а днем обсуждали искусство, науку и философию. В том же самом баре, где собирался Венский кружок, ночью звучали джазовые оркестры.
Принстон, наоборот, был маленьким провинциальным городом, в котором не было ни клубов, ни кабаре и фактически отсутствовала ночная жизнь. Возможно, было бы преувеличением сказать, что Принстон являлся придатком Университета и Института перспективных исследований (независимых учреждений, хотя и имевших много связей друг с другом), но в действительности было сложно выйти на улицу и не встретиться с преподавателями, студентами или выпускниками, убежденными в своей принадлежности к интеллектуальной элите планеты.
Гёдель воспринял изменение обстановки почти как благословение. Он быстро адаптировался к новому стилю жизни, более соответствовавшему его стремлению к уединению и размышлениям об интеллектуальных аспектах бытия. Адель, наоборот, никогда не чувствовала себя в Принстоне комфортно.
В Вене она была танцовщицей в ночных клубах и теперь скучала по музыке и веселью, поэтому чувствовала себя грустно и одиноко. Детей у них с мужем не было, но Адель частично смягчала это одиночество множеством домашних животных, среди которых были собаки, коты и птицы. Ее одиночество усиливали недостаточное владение английским языком и отсутствие друзей (за исключением некоторых соседей).
Гёдель же, в отличие от Адель, сознательно сократил круг знакомых. Он общался в основном с коллегами из Института перспективных исследований, а самыми близкими его друзьями стали Оскар Моргенштерн и, конечно же, Альберт Эйнштейн.
Пока еще "слава" совсем не давит на меня. Это начинается только тогда, когда ты становишься настолько известным, что тебя узнает на улице даже ребенок, как это происходит в случае с Эйнштейном.
Из письма Гёделя матери о начале жизни в Принстоне и прогулках с Эйнштейном
Гёдель познакомился с Эйнштейном в 1933 году, во время первого визита в США, где их представил друг другу Пауль Оппенгейм, немецкий химик, также эмигрировавший из-за нацистов. Они вновь встретились в 1940 году, по приезде Гёделя в Принстон, и за очень короткое время стали хорошими друзьями.
Из-за обоюдной сдержанности ученых мы знаем об их дружбе немного и в основном из переписки Гёделя с матерью, которая жила в Брно. Каждое утро между 10 и 11 часами Эйнштейн заходил за Гёделем домой, и они шли пешком в Институт, что занимало примерно полчаса, по пути беседуя о физике, политике и философии. В час или два часа дня они возвращались домой, также беседуя.
Некоторые обрывки этих бесед сохранены в письмах Гёделя. Эйнштейн, похоже, был настроен относительно будущего человечества довольно оптимистично, хотя и с некоторыми оговорками. Гёдель, наоборот, проявлял пессимизм, что не было удивительно в первые годы ядерной эры, когда казалось, что вот-вот разразится атомная катастрофа.
Образ Гёделя и Эйнштейна, беседующих на немецком языке во время прогулок по Принстону, стал широко известным. Эйнтштейн вспоминал: самое важное, что он делал в Принстоне в те годы,— это прогулки с Гёделем.