экватора в этом отношении очень полезна, потому что планета у нас довольно симметрична относительно экватора, что упрощает математические расчеты. Остальные параметры определяют аналогично: например, направление линии узлов отсчитывают, как всегда, от точки весеннего равноденствия.
Теперь давайте посмотрим, как могут двигаться спутники после запуска. Подвешиваем тело над Землей и сообщаем ему импульс. Например, по какой линии движется камень, брошенный под углом к горизонту? Школьный учебник утверждает, что по параболе. Но так ли это?
По этой кривой тела движутся в однородном поле гравитации, когда ускорение свободного падения направлено везде одинаково. Но наша Земля — не плоскость бесконечной протяженности (как ее в древности представляли, лежащей на слонах и китах), а шар, т. е. она притягивает к своему центру как точка (выше мы говорили, что это следует из второй теоремы Ньютона). Поэтому, как бы мы ни кинули тело, оно полетит по эллипсу. Если с маленькой скоростью, то оно упадет, но все равно при этом будет двигаться по дуге эллипса.
Рис. 2.13. Геоцентрическая экваториальная система координат.
Давайте теперь будем бросать тело горизонтально со всё большей и большей скоростью. Сначала оно будет ударяться о поверхность Земли, заканчивая свое эллиптическое движение, при этом точка старта будет апоцентром (наиболее удаленная от центра точка эллипса). При некоторой скорости мы в конце концов добиваемся, чтобы тело летало по круговой орбите. А если придать еще бóльшую начальную скорость, то оно также полетит по эллипсу, только теперь точка старта станет не апо-, а перицентром.
Рис. 2.14. Параметры орбиты искусственного спутника Земли.
Кстати, в сообщениях ТАСС и других СМИ вам никогда не скажут, каково расстояние от перицентра или апоцентра орбиты того или иного спутника до центра Земли. У них своя особенность языка, они говорят в других терминах: «высота полета космического тела» — это расстояние от поверхности. На рис. 2.14 показана взаимосвязь этих величин. Но для физика важно знать истинные параметры эллипса — расстояние от центра тяготения, а значит, надо не забывать всегда прибавлять радиус Земли.
А что будет, если еще больше наращивать скорость (рис. 2.15)? При некоторой скорости мы получим параболическое движение: тело при этом отрывается, уходит в бесконечность и там замирает, потому что в пределе на бесконечном расстоянии скорость будет нулевой. А если задать еще бóльшую начальную скорость, то оно улетает по гиперболе и на бесконечности продолжает двигаться, потому что у него есть запас энергии. И, наконец, если мы метнули это тело с бесконечно большой скоростью, то оно уйдет по прямой линии, вообще «не ощущая» гравитации.
Рис. 2.15. Космические скорости.
Теперь подсчитаем, с какой скоростью надо запустить тело, чтобы оно вышло на круговую орбиту. Если тело движется по кругу, то надо приравнять центростремительное ускорение к отношению силы гравитации к массе тела:
Из этого уравнения получаем выражение для скорости, которая называется первой космической (V1):
Важно подчеркнуть, что это векторная величина, т. е. эту скорость надо сообщить спутнику обязательно в нужном направлении.
Однако в телерепортаже мы видим, что ракета стартует с космодрома всегда вертикально вверх, а потом говорят, что ракета набрала первую космическую скорость и вышла на круговую орбиту вокруг Земли. Что было бы дальше, если бы она набрала первую космическую в вертикальном направлении? Вышла бы она на круговую орбиту? Конечно, нет — она упала бы обратно.
Кстати, понятие первой космической скорости (называемой также круговой скоростью) v₁ определяют не только у поверхности планеты, поэтому всегда надо уточнять — в каком месте. В формулу входит расстояние до центра планеты; подставляйте сюда другие значения — и вы получите разные значения первой космической скорости. У поверхности Земли или на небольшой высоте (150–200 км), где уже почти нет воздуха, она составляет около 8 км/с, но при удалении от Земли уменьшается обратно пропорционально корню из расстояния.
Рис. 2.16. Зависимость формы орбиты от направления начальной скорости (при модуле, равном круговой скорости).
Итак, если мы придали телу первую космическую скорость точно в направлении, перпендикулярном вектору расстояния, то оно выйдет на круговую орбиту (рис. 2.16). Но если вы ошиблись с направлением, то получите вовсе не круг, а эллипс, хотя модуль скорости и был правильным! Это очень большая проблема для инженеров, которые планируют космические запуски: малейшее отклонение — и насмарку все труды: спутник может даже войти в атмосферу Земли и сгореть. Обратите внимание, когда запуск космической ракеты долго показывают: сначала она вертикально уходит в стратосферу, а потом постепенно поворачивает, поворачивает, поворачивает — и на высоте 50–70 км начинает двигаться уже параллельно поверхности Земли, и ей надо набрать соответствующую высоте первую космическую скорость, иначе она упадет обратно на планету.
Для тела, равномерно движущегося по круговой орбите, можно легко записать выражения для его кинетической и потенциальной (гравитационной) энергии:
Потенциальная энергия отрицательна, потому что это энергия связи двух тел. Полная энергия тела, движущегося с первой космической скоростью, в точности равна кинетической по модулю, но они имеют разные знаки. Мы вывели эту формулу только для кругового движения, но оказывается, что при усреднении по времени она справедлива для движения по эллиптической орбите (при этом нужно заменить R на a) и для стационарной системы гравитационно взаимодействующих точек, — это называют теоремой вириала. Это очень важная теорема, особенно для тех, кто занимается изучением одновременного движения многих тел — скажем, в звездном скоплении, содержащем миллионы звезд. Просчитать их движение по отдельности невозможно, разве что на суперкомпьютерах. Но даже не зная индивидуальных траекторий и скоростей, мы всегда можем быть уверены, что полная и кинетическая энергии этой кучи звезд равны по модулю.
Рис. 2.17. Соотношение масс ракеты-носителя и ее полезной нагрузки. Ракета весом более 300 тонн создается только для того, чтобы маленький космический аппарат достиг устойчивой орбиты.
Раз уж речь зашла о космонавтике, я напоследок расскажу одну интересную вещь о