(рис. 2.6). Казалось бы, это задача очень сложная, потому что для решения надо вычислить притяжение спутника к каждой точке планеты и сложить векторы сил. Та же проблема у геофизика, который интересуется внутренностью планеты и хочет узнать, какова гравитация на нужной глубине: ему надо бы вычислить притяжение ко всем точкам внешней части и ко всем точкам внутренней части. К счастью, еще Ньютон доказал две простые, но очень полезные теоремы, значительно облегчающие вычисления, — и за это ему спасибо.
Рис. 2.6. Легкий спутник на круговой орбите малого радиуса.
Первая теорема говорит о том, что если у вас есть однородная по плотности сферическая оболочка, то внутри нее гравитация отсутствует и ускорение везде равно нулю. Доказательство можно продемонстрировать на пальцах. Для этого помещаем в произвольное место полости пробный шарик и смотрим, какие силы на него действуют со стороны двух диаметрально противоположных бесконечно малых сегментов (рис. 2.7, где сегменты для наглядности показаны большими):
Рис. 2.7. Теорема Ньютона о гравитации внутри однородной сферы.
Площади и массы обоих сегментов прямо пропорциональны квадрату расстояния, а сила обратно пропорциональна квадрату расстояния, значит, оба оказывают на эту точку одинаковое по величине, но противоположно направленное влияние, то есть силы уравновешиваются. Таким образом, где бы ни находилось тело внутри оболочки, оно пребывает в состоянии невесомости. Более того: когда вы свободно падаете без опоры, вы тоже испытываете невесомость в течение короткого времени, пока не упали, а в полости вообще нет гравитационной силы, и «падать» там можно бесконечно долго.
Рис. 2.8. Теорема Ньютона о гравитации вне однородной сферы (в точке А).
Теперь из последовательности таких оболочек мы можем собрать всю планету целиком и понять, что для вычисления ускорения свободного падения в какой-то внутренней точке достаточно учитывать только более глубокие слои. А принимать во внимание наружные по отношению к рассматриваемой точке слои, которые лежат поверх нее, т. е. ближе к поверхности, нет необходимости, потому что они никакого влияния не оказывают. В частности, это приближение верно для Земли, у которой плотность к центру растет, при этом на каждой выбранной глубине она под любой точкой поверхности почти одинакова. Геофизики «молятся» на эту теорему Ньютона, потому что она позволяет им легко вычислять гравитационное поле внутри шаровидных (сферически симметричных) космических тел. Но для тел другой формы это уже не справедливо.
Вторая теорема Ньютона касается притяжения однородной сферической оболочкой тела, расположенного снаружи. Оказывается, в этом случае оболочка действует на внешнее тело так же, как и материальная точка с той же массой в центре сферы. Для доказательства нужно вычислить гравитационную потенциальную энергию точечного тела единичной массы в зависимости от расстояния от этой точки до кольца, вырезанного в сфере (рис. 2.8). При этом ничего более сложного, чем теорема косинусов, не требуется.
Пусть у сферы единичная поверхностная плотность. Тогда потенциальная энергия в поле шарового пояса определяется так:
Потенциальная энергия в поле всей сферы:
Ускорение в точке А:
Из серии сферических оболочек можно собрать массивную шаровидную планету или звезду, а значит, в ее поле тяготения движение всех малых объектов — как спутников, так и тел, пролетающих мимо, — можно рассчитывать в приближении, будто вся масса шара сосредоточена в центральной точке. Этот факт очень важен для астрономов, потому что все достаточно крупные космические тела почти сферичны, если они не очень быстро вращаются (иначе они становятся эллипсоидами и эти теоремы перестают работать).
Теперь давайте представим себе мир, в котором гравитация устроена не по Ньютону. С помощью простенькой компьютерной программы интегрирования уравнений движения попробуем «поиграть» с законом гравитации, меняя показатель степени m при расстоянии R в формуле Ньютона (рис. 2.9). В классическом случае m = 2. Запускаем пробное тело вокруг точечной массы и получаем ожидаемый результат: пробное тело бегает по одному и тому же эллипсу.
Если сделаем зависимость гравитации от расстояния более жесткой, увеличив показатель степени чуть-чуть, всего на 10 %, то получится вот что: вроде бы движение происходит тоже по эллипсу, но он не остается неизменно ориентированным, его ось понемногу поворачивается — происходит прецессия оси. Теперь возьмем зависимость F (R) немного мягче ньютоновой, уменьшив m на 25 %. При таком законе тоже вырисовывается похожий эллипс, только вращающийся в противоположном направлении. Интересно, что если задать совсем уж невообразимый вариант m = 1 (т. е. F ~ 1/R), то угловая скорость прецессии оси становится близкой к угловой скорости обращения спутника.
Рис. 2.9. Движение частицы в разных силовых полях.
Несмотря на то что движение кажется хаотичным, можно заметить, что во всех рассмотренных случаях есть границы движения, за которые тело никогда не вылетает. Механики называют такое движение финитным, то есть ограниченным в пространстве. Если бы у нас, например, в законе Кулона показатель степени при расстоянии вдруг «поплыл», то электрон по крайней мере не убежал бы от ядра и не упал бы на него: ну, двигался бы немного более «хитро», чем в нашем мире, но с этим жить можно. Главное — что атом остался бы стабилен, не распался бы.
Эти численные эксперименты — вовсе не блажь. Дело в том, что Ньютонов закон действителен только в слабых гравитационных полях; он является, так сказать, лишь первым приближением к реальности. А если вы возьмете уравнения общей теории относительности и на их основе попытаетесь получить ньютоновское приближение, то к основному компоненту G M/R² добавятся поправки — слагаемые, растущие с увеличением потенциала гравитационного поля. То есть в общей теории относительности гравитация более круто зависит от расстояния, чем в теории Ньютона. Поэтому есть особенность приближения к объектам очень большой массы, но малого размера.
Рис. 2.10. Движение тела вблизи черной дыры. Расстояния по осям указаны в гравитационных радиусах черной дыры (rg).
Вот как замысловато будут кружить объекты в окрестности черной дыры (рис. 2.10):