Метод электрических изображений В. Томсона обязан своим происхождением поискам путей, направленных на преодоление трудностей, встретившихся при рассмотрении некоторых задач электростатики, относящихся к сферическим проводникам59b.
Исследования Гаусса, Томсона, Дирихле и Римана, связанные с проблемами существования и единственности, возникли вместе с постановкой краевых задач и, таким образом, их генетическая связь с электростатикой очевидна. Эти проблемы были в сфере интересов Максвелла. Последующее их развитие привело к замкнутости теории в целом.
Метод арифметических средних К. Неймана был первым общим методом решения краевых задач теории потенциала, применимым ко всем достаточно гладким выпуклым поверхностям; потребностями электростатики были вызваны и исследования Неймана, связанные с распространением метода арифметических средних на поверхности, обременённые плоскими частями, рёбрами и угловыми точками60. Примерно к тому же времени относятся и исследования Робэна о распределении электричества на проводниках, приведшие к так называемому методу Робэна. Значение методов Неймана и Робэна состоит в том, что они не только устанавливали существование решения краевых задач теории потенциала, но и давали конструкцию, алгоритм самих этих решений. Поэтому они оказались в центре внимания всех исследований по теории потенциала последней трети XIX в. Эти исследования предпринимались с целью распространения методов Неймана и Робэна на класс поверхностей, более широкий, чем выпуклые, ибо выпуклые поверхности не удовлетворяли требованиям математической общности и, главное, представляли собой класс поверхностей, слишком узкий с точки зрения приложений теории потенциала, в частности приложений к электростатике.
С именем Анри Пуанкаре связан важный этап истории теории потенциала, лежащий на стыке классического направления этой теории, идущего от Грина и Гаусса, и нового теоретико-множественного и теоретико-функционального направления в математике. Три больших мемуара Пуанкаре60a, появившиеся один вслед за другим на протяжении короткого отрезка времени, сыграли благодаря богатству содержащихся в них новых идей выдающуюся роль и оказали огромное влияние на дальнейшее развитие теории потенциала и математической физике в целом.
Пуанкаре был одним из творцов метода, известного под именем «метода Шварца — Пуанкаре», с помощью которого ему удалось установить существование и свойства решений широкого класса краевых задач математической физики. Идеи, лежащие в основе этого метода, проложили путь к распространению методов Неймана и Робэна на все поверхности Ляпунова. Пуанкаре принадлежит открытие так называемого метода фундаментальных функций, обобщающего классические методы решения частных задач теории потенциала с помощью специальных функций, и, наконец, открытие замечательного метода доказательства существования решения первой краевой задачи (задачи Дирихле), свободного от ограничений, связанных с выпуклостью рассматриваемой поверхности. Речь идёт о методе, названном самим автором «методом выметания» («methode de halayage») и опубликованного в первом из указанных мемуаров.
Метод выметания явил собой пример поразительного сочетания математических и физических идей, какой история теории потенциала уже имела в работах Грина и Гаусса.
Ещё со времён Пуассона и Грина было известно, что если единичный заряд, сосредоточенный в какой-нибудь точке P внутри сферы, распределить по его поверхности так, чтобы на ней образовался так называемый слой Грина, то такое преобразование (как раз и названное Пуанкаре «операцией выметания» изнутри сферы) не приведёт к каким-либо изменениям поля вне данной сферы, Пуанкаре обратил внимание на то, что из этого утверждения, дополненного указанием о действии слоя Грина на точки внутри данной сферы, можно извлечь весьма далеко идущие следствия. Такого рода дополнение и делает сначала Пуанкаре, доказав, что операция выметания положительных масс изнутри сферы приводит к ослаблению поля внутри этой сферы. Это предложение Пуанкаре составляет, так сказать, первую, классическую основу его «метода выметания».
Вторая основа этого метода имеет чисто математический характер и связана с новыми в то время направлениями в математике, относящимися к области теории множеств. Пуанкаре показывает, что для любой замкнутой поверхности (σ) всегда можно построить счётное множество сфер (Sn), покрывающих область вне (σ) и не пересекающихся с самой поверхностью (σ).
Если теперь представить проводник σ окружённый сферой (Σ) центра O и радиуса R, равномерно заряженный положительным электричеством плотности, равной 1/4πR, то внутрь некоторых из сфер (Sn) счётного покрытия, области, внешней к σ попадут электрические заряды. Начиная с какой-нибудь из таких сфер (Si), произведём в любом порядке последовательные выметания, но так, чтобы каждая из сфер покрытия выметалась бесконечно много раз. Из сказанного выше следует, что каждая операция выметания может привести разве лишь к уменьшению потенциала в любой точке M пространства по сравнению с его первоначальным значением V0, равным R/OM в любой точке M вне (Σ) и равным 1 внутри (σ). Таким образом, внутри каждой из сфер (Si) определится некоторая невозрастающая последовательность V1(i), V2(i),…, Vn(i) положительных функций, гармонических внутри (Si) имеющая, следовательно, некоторый конечный предел V(i). Согласно теореме Гарнака, этот предел также является функцией гармонической внутри (Si), а совокупность этих последних, взятая во всем i, определяет некоторую функцию V, гармоническую вне (σ). Так как каждая из Vn(i) удовлетворяет условию 0≤Vn(i)<V0, то таким же свойством обладает и функция V, которая в силу этого оказывается регулярной на бесконечности.
Согласно построению, каждая из функций Vn(i) обращается в 1 на (σ). Для доказательства того, что таким же свойством обладает и предельная функция V Пуанкаре вынужден наложить некоторое ограничение на поверхность проводника (σ). Именно, он предполагает, что в каждой точке этой поверхности существует определённая касательная плоскость и два определённых отличных от нуля радиуса кривизны. Эти ограничения позволяют для любой точки M0 поверхности проводника (σ) построить сферу (S), целиком лежащую внутри (σ) и касательную к (σ) в точке M0. Если C —центр сферы (S) и r — её радиус, то функция -r/MC, рассматриваемая как функция от M, гармонична вне (S) и обращается в 1 на (S). Поэтому функция u(M)=Vn(M)- r/MC, где Vn(M) — потенциал точки M, получающийся из V0(M) после n операций выметания, будет потенциалом в точке M поля, порождаемого положительными зарядами, лежащими вне (S) и отрицательного заряда -r, сконцентрированного в центре сферы (S). В силу этого вне (S) функция u может иметь лишь максимумы, и так как U|S=0, то вне (S U>0), т. е. Vn(M) > r/MC. Таким образом, вне (S) r/MC < Vn ≤ V < 1, и при M → M0 будет V(M) → V(M0)=1. Тем самым доказано существование функции, гармонической вне заданного проводника (σ) и обращающейся в 1 на поверхности этого проводника, т. е. установлено существование решения основной задачи электростатики для указанного класса поверхностей.
С помощью метода изображений Томсона эта задача даёт возможность установить существование функции Грина, а значит, и решить внутреннюю задачу Дирихле.
Мы не станем останавливаться на некоторых остроумных усовершенствованиях метода выметания, сделанных Пуанкаре в этом же мемуаре. Укажем лишь, что Пуанкаре удаётся снять некоторые ограничения на рассматриваемые им поверхности и предложить такое видоизменение метода выметания, которое позволяет непосредственно (т. е. минуя построение функции Грина) доказать принцип Дирихле для указанного выше класса поверхностей при условии непрерывности функции, входящей в краевое условие задачи Дирихле.