Концепция Пуанкаре о неоднозначности механической модели и возможности многих механических моделей могла быть выдвинута уже в 70-х годах XIX в., но исторически сложилось так, что она была высказана после сложных поисков этих моделей.
Мак-Келлог выдвинул предположение, что потенциальная энергия есть квадратичная функция углов вращения.
При отсутствии сил, стремящихся вернуть смещённые части в состояние равновесия, упругости не существует. В модели Мак-Келлога, если энергия зависит только от вращений, то система противодействующих сил должна состоять из пар.
Объяснение этих пар сил требовало введения второй неподвижной среды, не принимающей участия во вращении первой среды, но действующей на первую своими восстанавливающими силами.
В. Томсон выдвинул идею о модели квазижёсткого эфира, а также стремился представить эфир при посредстве модели несжимаемой жидкости, находящейся в турбулентном движении.
Анализируя большое число различных гипотез, относительно строения и свойств эфира, Лоренц писал: «Эти теории имели некоторый успех, но нужно признать, что они не дают особого удовлетворения, так как становятся все более искусственными по мере возрастания количества случаев, требующих детального объяснения. В последнее время механические объяснения происходящих в эфире процессов все более отступают на задний план. Для многих физиков основной частью теории является количественное описание явлений, как, например, данное в уравнениях Максвелла...»57
В. Томсон стремился преодолеть затруднение, суть которого в том, что в эфире распространяются поперечные колебания и, следовательно, проявляются свойства твёрдых тел, но одновременно он не оказывает никакого сопротивления движущимся сквозь него телам. В. Томсон (Кельвин) утверждал, что эфир нельзя себе представлять сплошным. Эфир охвачен по всему объёму сильными вихрями; он весь состоит из вращающихся масс, оси вращения которых находятся в хаотическом движении. Вращающиеся массы в силу свойств вихрей легко сдвигаемы друг относительно друга, в то же время невозможно повернуть отдельные ячейки около любой оси. Гиростатическая модель эфира, в конечном счёте исходит не из континуальных свойств, а из атомистических. В. Томсон выдвигал немало интересных модификаций эфира, но они не достигли цели. В 1910 г. Планк писал: «Чтобы постигнуть строение эфира, были исчерпаны все предложения и комбинации, какие только можно себе представить; на этом поприще самым деятельным среди великих физиков оставался до конца своей жизни лорд Кельвин. И обнаружилось, что из единой механической гипотезы невозможно вывести электродинамические процессы в свободном эфире...»58 Наличие множества различных моделей в пределах одной теории казалось крайне парадоксальным. Эту трудность преодолел Анри Пуанкаре.
Он внёс существенный вклад в обоснование максвелловой электродинамики и в выяснение её принципиальных теоретических основ. Он показал, что если французские учёные, начиная с Лапласа и кончая Коши, исходили из точно высказанных гипотез и следствия из этих гипотез, выведенных с математической строгостью, сравнивали с опытом, то метод Максвелла был иным. Максвелл, в отличие от многих физиков конца XVIII — начала XIX в. не давал механического объяснения электричества и магнетизма, он лишь доказывал возможность такого объяснения, и естественно, что уравнения Максвелла можно было идентифицировать с самой теорией. Из непосредственного опыта можно получить некоторое число параметров (q1, q2, … qn) и их измерить. Наблюдение даёт нам законы изменения этих параметров. Законы эти можно представить в форме дифференциальных уравнений, связывающих параметры между собой и со временем.
Для механического истолкования явления его надо, отмечает Пуанкаре, объяснить при помощи движения обычной материи или гипотетических частиц. Уравнения движения частиц m1, m2, … mp имеют вид:
m
i