На первой иллюстрации изображен квадрат со вписанной в него окружностью, в которую вписан треугольник АВС, где ВС — диаметр окружности. На второй иллюстрации изображен прямоугольник той же высоты, что и квадрат на первом рисунке, и ширины, равной диагонали этого квадрата. В этот прямоугольник вписан эллипс, в него, в свою очередь, — треугольник KLM, где LM — большая ось эллипса. Далее Пьеро делла Франческа установил следующее соотношение:
Затем он перешел к следующим объемным фигурам.
Удвоенный купольный свод и вписанная в него пирамида.
(источник: FMC)
Сфера, вписанная в удвоенный купольный свод, и конус, вписанный в сферу.
(источник: FMC)
Далее без дополнительных объяснений он приводит следующее соотношение, полученное тем же способом, что и в случае с плоскими фигурами:
После этого он выражает объем удвоенного свода V:
Это равносильно
Иными словами,
А так как
Пьеро делла Франческа нашел верное решение, что можно доказать с помощью интегрального исчисления.
Вычисление объема удвоенного свода с помощью интегралов.
(источник: FMC)
Если мы рассечем фигуру плоскостью р, параллельной ее экватору, и обозначим за х расстояние от этой плоскости до центра фигуры, по теореме Пифагора получим
y = √(r2 — x2)
Следовательно, площадь сечения фигуры плоскостью р, которое представляет собой квадрат со стороной 2у (выделен серым цветом), равна
А(х) = 4(r2 — х2).
Объем фигуры будет равен
Задачу о нахождении объема общей части двух перпендикулярных цилиндров равного диаметра рассматривал Архимед в своем «Методе». Однако этот труд, утерянный во времена Античности, был обнаружен лишь в 1906 году на палимпсесте — древней рукописи с текстами религиозных песнопений, где сохранились следы более раннего текста, принадлежавшего Архимеду. Нет никаких доказательств тому, что этот труд Архимеда был известен во времена Пьеро делла Франческа, поэтому неизвестно, на какие источники он опирался в своих вычислениях.
Поэтому Пьеро делла Франческа можно считать математиком первой величины, обладавшим великолепным пространственным и геометрическим мышлением. Его идеи в области математики и искусства, выраженные в его книгах, и видение пространства и фигур, которое мы можем наблюдать на его картинах, отразили дух той удивительной эпохи конца кватроченто, когда искусство и математика шествовали рука об руку.
Многогранники как отдельный жанр искусства
В эпоху Возрождения произошло слияние трех течений, что упростило изучение многогранников. С одной стороны, с возвратом интереса к Античности стало уделяться особое внимание этим геометрическим фигурам, которые рассматривал еще Евклид в «Началах» с математической точки зрения, а Платон в своих диалогах — с космологической точки зрения. С другой стороны, с распространением математической перспективы впервые стало возможным «увидеть» эти фигуры на рисунках, и они стали изучаться более подробно.
Так, в городе Урбино жили и работали два автора, которые уделяли этому вопросу наибольшее внимание, — Пьеро делла Франческа и Лука Пачоли. Исследование многогранников, изложенное Пьеро делла Франческа в его «Трактате об абаке», и приведенные им примеры Пачоли использовал в «Сумме арифметики».
Позднее мы снова обнаружим совпадения в «Книге о пяти правильных телах» Пьеро делла Франческа и «О божественной пропорции» Пачоли, которые, по мнению Вазари, представляли собой плагиат со стороны Пачоли, несмотря на то что Пьеро делла Франческа в своей книге придерживался строго математического подхода, а Пачоли — мистико-теологического. Пьеро делла Франческа пытается если не доказать, то объяснять приведенные им утверждения и обосновывать их с теоретической точки зрения, а Пачоли оправдывает отсутствие доказательств в своей книге тем, что «ясно выраженное не требует доказательств».
Несмотря на различные подходы этих авторов и возможный плагиат, обе книги объединяет великолепное качество иллюстраций. Всё в работе Пьеро делла Франческа указывает на то, что их выполнил он сам, а поистине великолепные иллюстрации в труде «О божественной пропорции» сделал Леонардо да Винчи. Одна из них хранится в Национальной библиотеке Испании в Мадриде.
Изображение додекаэдра, выполненное Леонардо да Винчи для рукописи «О божественной пропорции» Луки Пачоли.
Вверху — изображение ромбокубоктаэдра, выполненное на основе рисунков Леонардо да Винчи, приведенное в печатном издании книги «О божественной пропорции» Луки Пачоли (Венеция, 1509). Внизу — деревянная мозаика Фра Джованни да Верона (ок. 1457–1525) для ризницы церкви Санта-Мария-ин-Органо в Вероне.
Позднее, как мы уже указывали, книга «О божественной пропорции» была напечатана (1509). Это издание содержит гравюры, выполненные на основе рисунков Леонардо. Пачоли включил «Книгу о пяти правильных телах» в качестве приложения к этому изданию. В итоге многогранники стали входить в моду среди итальянской знати эпохи Возрождения. Дворяне собирали коллекции многогранников, которые изготавливались в столярных мастерских под присмотром умелых математиков (порой и самого Пачоли).
В инкрустации по дереву также сочеталось искусство перспективы и мода на использование многогранников. Так, стены домов и двери деревянных шкафов часто украшались мозаиками с изображением многогранников, в которых использовался так называемый тромплей, обман зрения: создавалось впечатление, что дверцы шкафов полуоткрыты, а внутри них лежат разные предметы, книги и геометрические фигуры.
В инкрустациях, выполненных Фра Джованни да Верона для ризницы церкви Санта-Мария-ин-Органо в Вероне, очевидно прослеживается влияние рисунков Леонардо из книги «О божественной пропорции». Нет никаких сомнений, что Фра Джованни был знаком с текстом Пачоли.
* * *
СВЯЗЬ МНОГОГРАННИКОВ И ЗОЛОТОГО СЕЧЕНИЯ
Лука Пачоли назвал свою книгу «О божественной пропорции», иными словами «О золотом сечении». Но какова связь между многогранниками и золотым сечением? Продемонстрируем ее на трех иллюстрациях.
Построение прямоугольника золотого сечения.
На первом рисунке показано построение прямоугольника золотого сечения. Нужно построить квадрат ABPQ и провести дугу окружности с центром в точке М, середине стороны ВР, и радиусом, равным длине отрезка MQ. Эта дуга пересечет продолжение стороны ВР в точке С. Полученный прямоугольник ABCD является прямоугольником золотого сечения, то есть отношение его сторон равно золотому сечению:
Кроме того, прямоугольники ABCD и CDQP подобны, поэтому:
Золотое сечение в правильном пятиугольнике.
При построении правильных пяти- и десятиугольника также используется золотое сечение. Соотношения многих сторон и отрезков в пятиугольнике описываются числом Ф (так называемым золотым числом). Рассмотрим некоторые из них:
Как следствие, в додекаэдре, который образован двенадцатью пятиугольниками, золотое сечение также встречается очень часто.
Золотое сечение также используется в икосаэдре и многих других многогранниках. Если мы соединим два противоположных ребра икосаэдра, получим прямоугольник золотого сечения. Если мы попарно сгруппируем 12 вершин икосаэдра, то получим фигуру, изображенную на рисунке ниже. В ней можно увидеть три прямоугольника, лежащих в плоскостях, попарно перпендикулярных друг другу.
Так как додекаэдр является двойственным икосаэдру, он также обладает этим свойством. Единственное отличие заключается в том, что вместо противолежащих ребер в этом случае нужно соединить центры граней.
Три прямоугольника золотого сечения, вписанные в икосаэдр.